Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao \(10\,{\rm{cm}}\) và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng \(12\,{\rm{cm}}\). Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là \(3\,\,{\rm{g/c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi tâm \[O\], đường thẳng \[SO\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]. Biết \(BC = SB = a,SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tìm số đo của góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) (làm tròn kết quả đến đơn vị độ).

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thang vuông tại \[A\] và \[D\], \[AB = AD = 2a,\] \(CD = a\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \[AD,\] biết hai mặt phẳng \[\left( {SBI} \right)\], \[\left( {SCI} \right)\] cùng vuông góc với đáy và \[SI = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\]. Số đo góc nhị diện \(\left[ {S,BC,D} \right]\) bằng bao nhiêu độ?

Cho hình chóp \[S.ABC\], có \(SA = SB = SC\), đáy là tam giác đều cạnh bằng \(7\). Biết thể tích khối chóp \[S.ABC\] bằng \(\frac{{343\sqrt 3 }}{3}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).

Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) được đặt trên một mái nhà nghiêng so với mặt đất nằm ngang góc \(10^\circ ,\,AB = 1{\rm{\;m}},\,AD = 1,5{\rm{\;m}}\), \(AA' = 1{\rm{\;m}}\). Đáy bể là hình chữ nhật \(ABCD\). Các điểm \(A,B\) cùng ở độ cao \(5{\rm{\;m}}\) (so với mặt đất), các điểm \(C,D\) ở độ cao lớn hơn so với độ cao của các điểm \(A,B\). Khi nước trong bể phẳng lặng người ta đo được khoảng cách giữa đường mép nước ở mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và mặt đáy của bể là \(80{\rm{\;cm}}\). Tính thể tích của phần nước trong bể (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị mét khối).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\),\(AB = a,\,\,\widehat {BAD} = 60^\circ \), \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) tạo với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Gọi \(J,\,I\) lần lượt là trung điểm cạnh \(CD,\,DJ\).

a) Diện tích của hình thoi \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

b) Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy là \(\widehat {SJO}\).

c) Chiều cao của khối chóp là \(\frac{{3a}}{4}\).

d) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) được viết dưới dạng \(\frac{{{a^3}\sqrt m }}{n}\), với \(m\) là số nguyên tố. Khi đó, \(2024m - n = 6065\).