Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {3x + 4} - 4}}{{x - 4}} = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính 2a + b².     

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3+3^2+3^3+\mathrm{...}+3^n}{4+4^2+4^3+\mathrm{...}+4^n}$

Cho các hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 5;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = 0\). Khi đó:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right] = - 3\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{2}{5}\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{h\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = 0\).

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right).h\left( x \right)} \right] = 0\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x - 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x < - 1\\\sqrt {{x^2} + 1} + m\;\;khi\;x \ge - 1\end{array} \right.\). Khi đó

a) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \sqrt 5 + m\).

b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = - 3\).

c) Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \sqrt 2 + m\).

d) Khi \(m = 3 + \sqrt 2 \) thì hàm số đã cho có giới hạn tại x₀ = −1.

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81 m. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa. (đơn vị mét).