Câu hỏi:

30/07/2025 19 Lưu

Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0 ; 0 ; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \[{Q_1}(0; - 1;0);{Q_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};0} \right);{Q_3}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};0} \right)\] (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N. Em hãy tìm toạ độ của các lực \[{\overrightarrow F _1},{\rm{ }}\overrightarrow {{F_2}} ,{\rm{ }}\overrightarrow {{F_3}} \] tác dụng lên giá đỡ?
Media VietJack

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Theo giả thiết, ta có \[\overrightarrow {P{Q_1}}  = \left( {0; - 1; - 4} \right);\overrightarrow {P{Q_2}}  = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}; - 4} \right);\overrightarrow {P{Q_3}}  = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}; - 4} \right)\]
Suy ra: \[\left| {\overrightarrow {P{Q_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {P{Q_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {P{Q_3}} } \right| = 17\]. Do đó \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\]. Vì vậy, tồn tại hằng số \[c \ne 0\] sao cho:
\[\overrightarrow {{F_1}}  = c\overrightarrow {P{Q_1}}  = \left( {0; - c; - 4c} \right);\overrightarrow {{F_2}}  = c\overrightarrow {P{Q_2}}  = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}c;\frac{1}{2}c; - 4c} \right);\overrightarrow {{F_3}}  = c\overrightarrow {P{Q_3}}  = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}c;\frac{1}{2}c; - 4c} \right)\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \left( {0;0; - 12c} \right)\]. Mặt khác, ta có \[\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow F \], trong đó \[\overrightarrow F  = \left( {0;0; - 360} \right)\] là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = -360, tức là c = 30.
Vậy: \[\overrightarrow {{F_1}}  = \left( {0; - 30; - 120} \right);\overrightarrow {{F_2}}  = \left( {15\sqrt 3 ;15; - 120} \right);\overrightarrow {{F_3}}  = \left( { - 15\sqrt 3 ;15; - 120} \right)\]

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt S(0; 0; 20) và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt (ảnh 1)
Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình vuông.
Ta có \[\overrightarrow {SA} \] = (20; 0; –20), \[\overrightarrow {SB} \] = (0; 20; –20), \[\overrightarrow {SC} \] = (–20; 0; –20), \[\overrightarrow {SD} \] = (0; –20; –20), suy ra SA = SB = SC = SD = \[20\sqrt 2 \]. Do đó S.ABCD là hình chóp tứ giác đều.
Các vectơ \[\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \]có điểm đầu tại S và điểm cuối lần lượt là A′, B′, C′, D′. Ta có SA′ = SB′ = SC′ = SD′ nên S.A′B′C′D′ cũng là hình chóp tứ giác đều.
Gọi F là trọng lực tác dụng lên chậu cây và O′ là tâm của hình vuông A′B′C′D′. Ta có:
\[\overrightarrow F  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}}  = \overrightarrow {SA'}  + \overrightarrow {SB'}  + \overrightarrow {SC'}  + \overrightarrow {SD'}  = 4\overrightarrow {SO'} \]
Ta có \[\left| {\overrightarrow F } \right|\] = 40, suy ra \[\left| {\overrightarrow {SO'} } \right|{\rm{ = }}SO' = 10\].
Do tam giác SO′A′ vuông cân nên \[SA' = SO'.\sqrt 2  = 10\sqrt 2  = \frac{1}{2}SA\], suy ra \[\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {SA'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA}  = (10;0; - 10)\]
Chứng minh tương tự, ta cũng có:
\[\overrightarrow {{F_2}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} B = (0;10; - 10)\]; \[\overrightarrow {{F_3}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC}  = ( - 10;0; - 10)\]; \[\overrightarrow {{F_4}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SD}  = (0; - 10; - 10)\].
 

Lời giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (4;6;8);\overrightarrow {AC}  = (8;10;3);\overrightarrow {BC}  = (4;4; - 5)\).

Khi đó: \(|\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {8^2}}  = 2\sqrt {29} \);

\(|\overrightarrow {AC} | = \sqrt {{8^2} + {{10}^2} + {3^2}}  = \sqrt {173} ;{\rm{ }}\overrightarrow {BC}  = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {{( - 5)}^2}}  = \sqrt {57} \)

b) Ta có cosBAC=ABAC|AB|AC=4.8+6.10+8.3229173=11925017BAC35°2