Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm 0 trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho tam giác ABC đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L. Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng \[\overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {{F_3}} \] trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

a) Ta có \(18{\rm{in}} = 45,72\;{\rm{cm}} = 0,4572\;{\rm{m}}\).

Gọi \({\rm{G}}\) là trọng tâm tam giác \({\rm{ABC}}\).

Vì tam giác ABC đều nên \({\rm{G}}\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \({\rm{ABC}}\).

Do đó, \({\rm{GA}} = {\rm{GB}} = {\rm{GC}} = 0,4572\;{\rm{m}}\).

Theo bài ra ta có \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{L}}\) nên \({\rm{OG}} \bot ({\rm{ABC}})\) và \(|\overrightarrow {{\rm{OA}}} | = |\overrightarrow {{\rm{OB}}} | = |\overrightarrow {{\rm{OC}}} | = {\rm{L}}\).

Do đó, \(\left| {{{\vec F}_1}} \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = \left| {{{\vec F}_3}} \right|\).

Vì vậy, tồn tại hẳng số \(c \ne 0\) sao cho: \(\overrightarrow {{F_1}}  = c\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {{F_2}}  = c\overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {{F_3}}  = c\overrightarrow {OC} \).

Suy ra \({\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} = c(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )\).

Theo quy tắc ba điểm ta có

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = (\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC} ) = 3\overrightarrow {OG}  + (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} ) = 3\overrightarrow {OG} \) ( do G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \vec 0\) ).

Do đó, \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = 3\overrightarrow {{\rm{OG}}} \).

Mặt khác ta lại có \({\vec F_1} + {\vec F_2} + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec P\), với \(\vec P\) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là \(24\;{\rm{N}}\) nên \(|\vec P| = 24\;{\rm{N}}\).

Từ đó suy ra \(3{\rm{c}}|\overline {{\rm{OG}}} | = 24\), tức là \({\rm{c}} = \frac{8}{{|\overrightarrow {{\rm{OG}}} |}}\)

Tam giác \({\rm{OAG}}\) vuông tại \({\rm{G}}\) (do \(OG \bot (ABC)\) ) nên ta suy ra:

\(OG = \sqrt {O{A^2} - G{A^2}}  = \sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} (\;{\rm{m}}){\rm{ v?i L}} > 0,4572.{\rm{ }}\)

Do đó, \(|\overrightarrow {{\rm{OG}}} | = \sqrt {{{\rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} \), suy ra \({\rm{c}} = \frac{8}{{\sqrt {{{\rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} }}\).

Khi đó, \({\rm{F}} = \left| {{{\rm{F}}_1}} \right| = {\rm{c}}|\overrightarrow {{\rm{OA}}} | = \frac{{8\;{\rm{L}}}}{{\sqrt {{{\rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} }}\).

Vậy \(F = F(L) = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }}\) vởi \({\rm{L}} > 0,4572\).

b) Xét hàm số \(F = F(L) = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }}\) với \(L \in (0,4572; + \infty )\).

Tạp xác định: \({\rm{D}} = (0,4572; + \infty )\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{L \to \infty } F(L) = \mathop {\lim }\limits_{L \to  + \infty } \frac{{8\;{\rm{L}}}}{{\sqrt {{{\rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{L \to  + \infty } \frac{8}{{\sqrt {1 - \frac{{{{0,4572}^2}}}{{\;{{\rm{L}}^2}}}} }} = 8\). Do đó, dường thắng \({\rm{F}} = 8\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{L}} \to 0,4577} \;{\rm{F}}(\;{\rm{L}}) =  + \infty \). Do đó, đường thắng \({\rm{L}} = 0,4572\) là tiệm cận dứng của đồ thị hàm số.

Đạo hàm \({F^\prime }(L) = \frac{{ - 8 - {{0,4572}^2}}}{{\left( {{L^2} - {{0,4572}^2}} \right)\sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }} < 0\) với mọi \({\rm{L}} \in (0,4572; + \infty )\).

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch bién trên khoảng \((0,4572; + \infty )\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới đây:

c) Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là \(10\;{\rm{N}}\).

Với \(F(L) = 10\), ta có \(\frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }} = 10\). Từ đó suy ra

\(5\sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}}  = 4L \Leftrightarrow 25{L^2} - 5,255796 = 16{L^2} \Rightarrow {\rm{L}} = 0,762 \in (0,4572; + \infty ).{\rm{ }}\)

Vậy chiều dài tối thiếu của mỗi sợi dây là \(L = 0,762\;{\rm{m}} = 76,2\;{\rm{cm}} = 30\) in.