Khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm \(C\) mà từ đó có thể nhìn được \(A\) và \(B\) dưới một góc \(78^\circ 24'\). Biết \(CA = 250\,{\rm{m}},CB = 120\,{\rm{m}}\). Khoảng cách \(AB\) gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Lời giải

Trong tam giác \(DAC\), ta có:

\(\cos \widehat {ACD} = \frac{{DC}}{{AC}}\), suy ra \(AC = \frac{{DC}}{{\cos A}} = \frac{{18}}{{\cos 40^\circ }} \approx 23,5\,{\rm{m}}\).

Trong tam giác \(DBC\) ta có:

\(\cos \widehat {BCD} = \frac{{DC}}{{BC}}\), suy ra \(BC = \frac{{DC}}{{\cos B}} = \frac{{18}}{{\cos 50^\circ }} \approx 28\,\;{\rm{m}}\).

Lại có góc \(\widehat {ACB} = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ \), áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(AB = \sqrt {C{A^2} + C{B^2} - 2CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB}} \) \( \approx \sqrt {23,{5^2} + {{28}^2} - 2 \cdot 23,5 \cdot 28 \cdot \cos 10^\circ } \approx 6,34\,{\rm{m}}.\)

Vậy chiều cao của cột cờ (làm tròn đến hàng phần trăm là) 6,34 m.

Đáp án: 6,34.

Lời giải

a) Sai.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A\)\( \Leftrightarrow {9^2} = A{B^2} + {6^2} - 2 \cdot AB \cdot 6 \cdot \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow A{B^2} - 4AB - 45 = 0 \Rightarrow AB = 9\) (vì \(AB > 0\)).

b) Sai. Ta có \(\cos A = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \sin A = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Từ định lí sin, ta suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:

\(R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{9}{{2 \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{{27}}{{4\sqrt 2 }}\). Vậy \({S_{ht1}} = \pi {R^2} = \pi \cdot {\left( {\frac{{27}}{{4\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{{729\pi }}{{32}}\).

c) Sai. Ta có \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB \cdot BC}} = \frac{{{9^2} + {9^2} - {6^2}}}{{2 \cdot 9 \cdot 9}} = \frac{7}{9}\); \(MB = MC = \frac{{BC}}{2} = \frac{9}{2}\).

Khi đó, \(A{M^2} = A{B^2} + M{B^2} - 2AB \cdot MB \cdot \cos B = {9^2} + {\left( {\frac{9}{2}} \right)^2} - 2 \cdot 9 \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{7}{9} = \frac{{153}}{4}\).

Suy ra \(AM = \frac{{\sqrt {153} }}{2}\).

Vậy \(\cos \widehat {AMB} = \frac{{A{M^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2AM \cdot MB}} = \frac{{\frac{{153}}{4} + {{\left( {\frac{9}{2}} \right)}^2} - {9^2}}}{{2 \cdot \frac{{\sqrt {153} }}{2} \cdot \frac{9}{2}}} = - \frac{{5\sqrt {17} }}{{51}}\).

d) Đúng. Nửa chu vi của tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = 12\).

Diện tích của tam giác \(ABC\) là \(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = 18\sqrt 2 \).

Với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), ta có \(S = pr\).

Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{18\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\). Vậy \({S_{ht2}} = \pi {r^2} = \pi \cdot {\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{9\pi }}{2}\).