Câu hỏi:

31/07/2025 6 Lưu

Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m , cách bạn nữ 5 m. Cho biết quỹ đạo cùa quả bóng nẳm trong mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt đất. Hãy viết phương trình của \((P)\) trong không gian $O x y z$ được mô tả như trong hình vẽ.

Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m , cách bạn nữ 5 m. (ảnh 1)
 

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Gọi \(M\) là điểm mà quả bóng rơi trên mặt đất.

Khi đó \(M(3;4;0)\). Mặt phẳng \((P)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec k = (0;0;1)\) và \(\overrightarrow {OM}  = (3;4;0)\) nên mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = ( - 4;3;0)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \( - 4x + 3y = 0\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1{\rm{   }}(*)\)

b) Thay toạ độ của điểm \(D\) vào vế trái của phương trình (*), ta có: \(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \ne 1\). Suy ra điểm \(D\) không thuộc mặt phẳng \((ABC)\).

Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Lời giải

a) Hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà là \((ABP)\) và \((CDP)\).

\( \bullet \) Do mặt phẳng \((ABP)\) có cặp vectơ chỉphương là \(\overrightarrow {AB}  = (0;20;1),\overrightarrow {AP}  = ( - 5;0; - 3)\) nên có một vectơ pháp tuyến là: \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AP} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{20}&1\\0&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\{ - 3}&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{20}\\{ - 5}&0\end{array}} \right|} \right) = ( - 60; - 5;100).\)

Mà mặt phẳng \((ABP)\) đi qua điểm \(A(10;0;9)\) nên có phương trình là:

\( - 60(x - 10) - 5(y - 0) + 100(z - 9) = 0 \Leftrightarrow 12x + y - 20z + 60 = 0.\)

\( \bullet \) Do mặt phẳng \((CDP)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {DP}  = (5;0; - 3),\overrightarrow {DC}  = (0;20;1)\) nên có một vectơ pháp tuyến là: \([\overrightarrow {DP} ,\overrightarrow {DC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\{20}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&5\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&0\\0&{20}\end{array}} \right|} \right) = (60; - 5;100).\)

Mà mặt phẳng \((CDP)\) đi qua điểm \(D(0;0;9)\) nên có phương trình là:

\(60(x - 0) - 5(y - 0) + 100(z - 9) = 0 \Leftrightarrow 12x - y + 20z - 180 = 0.\)

b) Vì các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất nên vởi hệ toạ độ trên ta có \(Q(x;20;z)\).

Do điểm \(Q\) thuộc mặt phẳng \((ABP)\) nên toạ độ của điểm \(Q\) thoả mãn:

\(12x + 20 - 20z + 60 = 0,{\rm{ t?c l\`a  }}3x - 5z =  - 20.{\rm{ }}\)

Do điểm \(Q\) thuộc mặt phẳng \((CDP)\) nên toạ độ của điểm \(Q\) thoả mãn \(12x - 20 + 20z - 180 = 0\), tức là \(3x + 5z = 50\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 5z =  - 20}\\{3x + 5z = 50}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{z = 7}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(Q(5;20;7)\).

c) Với \(P(5;0;6)\) và \(Q(5;20;7)\) ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = (0;20;1)\).