Câu hỏi:

31/07/2025 21 Lưu

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hoa bằng hàm số \[N(t) =  - {t^3} + 12{t^2},0 \le t \le 12\], trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) Đạo hàm N'(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Với \(0 \le t \le 12\) ta có: \({N^\prime }(t) = - 3{t^2} + 24t,{N^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 24t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0({\rm{tm}})}\\{t = 8({\rm{tm}})}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(N(0) = 0,N(8) = - {8^3} + {12.8^2} = 256,N(12) = - {12^3} + {12.12^2} = 0\)

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.

b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: \({N^\prime }(t) = - 3{t^2} + 24t\)

Đặt \(f(t) = - 3{t^2} + 24t\), với \(0 \le t \le 12\)

Ta có: \({f^\prime }(t) = - 6t + 24,{f^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow t = 4({\rm{tm}})\)

\(f(0) = 0,f(4) = - {3.4^2} + 24.4 = 48,f(12) = - {3.12^2} + 24.12 = - 144\)

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi \(t = 4\) (tuần thứ 4).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD’ như hình vẽ trên

Gọi x (m) là chiều rộng của bể, ta có \[0 < x \le 4\].

Chiều dài của bể là 2x (m).

Gọi h (m) là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là V = x.(2x).h.

Suy ra: \[h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}{\rm{ }}(m)\]

Tổng diện tích các mặt cần xây là:

\[S = {S_{ABCD}} + 2{S_{ABB'A'}} + 2{S_{BCC'B'}} = 2{x^2} + 2.x.\frac{{18}}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{{18}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\]

Xét hàm số \[S(x) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}(0 < x \le 4)\], ta có: \[S'(x) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 108}}{{{x^2}}} = \frac{{4(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{{x^2}}}\]

\[S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\]

Bảng biến thiên:

 Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn (ảnh 2)

Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây S(x) là nhỏ nhất.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có S(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3, suy ra h = 2.

Vậy cần xây bể có chiều cao là 2 (m).

Lời giải

Tập xác định: \({\rm{D}} = {\rm{R}}\).

\({y^\prime } = - \frac{{15\left( {9{t^2} + 1} \right) - 270{t^2}}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{ - 135{t^2} + 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\({{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 135{{\rm{t}}^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}({\rm{vt}} \ge 0)\)

Bảng biến thiên

 Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ y có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là \(t = 0\) và thấp nhất \(t = \frac{1}{3}\)