Câu hỏi:

31/07/2025 13 Lưu

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm đó (0 < x ≤2000), tổng số tiền doanh nghiệp thu được (đơn vị: chục nghìn đồng) là f (x) = 2 000x – x2 và tổng chi phí (đơn vị: chục nghìn đồng) doanh nghiệp chỉ ra là g(x) = x2 + 1 440x + 50. Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là t (chục nghìn đồng) (0<t<300). Tìm mức thuế phụ thu t (trên một đơn vị sản phẩm) sao cho nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó (Nguồn: Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên), Hướng dẫn giải bài tập Toán Cao cấp cho các nhà kinh tế, phần 2: Giải tích toán học, Nhà xuất bản Thống kê 2007).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Khi sản xuất và bán hết x sản phẩm đó (0 < x ≤ 2000), lợi nhuận doanh nghiệp thu được là:

      h(x) = (2000x-x2)-(x2+1440x+50) – tx = -2x2 + (560 – t)x – 50, với 0<x≤2000.

Xét hàm h(x) = − 2x2 + (560 – t)x – 50, với 0 < x ≤ 2000.

Ta có: h(x)= − 4x + (560 – t), h'(x)=0\[ \Leftrightarrow x = \frac{{560 - t}}{4} \in (0;2000)\]

Bảng biến thiên của hàm số:

 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm đó  (ảnh 1)

Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2000} \right]} h(x) = h\left( {\frac{{560 - t}}{4}} \right)\] tại \[x = \frac{{560 - t}}{4}\]. Khi đó, số tiền thuế thu được từ doanh nghiệp là: \[k(t) = \left( {\frac{{560 - t}}{4}} \right).t\]

Ta có: \[k(t) = \left( {\frac{{560 - t}}{4}} \right).t = - \frac{1}{4}{(t - 280)^2} + 19600,\forall t \in (0;300)\]

Vì vậy, ta có: \[\mathop {\max }\limits_{\left( {1;300} \right)} k(t) = 19600\]tại t= 280. Khi đó, x = 70 (sản phẩm).

Vậy mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm sao cho nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất là t = 280. Khi đó, mức thuế phụ thu là 2 800 000 đồng/ sản phẩm, doanh nghiệp sản xuất và bán hết 70 sản phẩm.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD’ như hình vẽ trên

Gọi x (m) là chiều rộng của bể, ta có \[0 < x \le 4\].

Chiều dài của bể là 2x (m).

Gọi h (m) là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là V = x.(2x).h.

Suy ra: \[h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}{\rm{ }}(m)\]

Tổng diện tích các mặt cần xây là:

\[S = {S_{ABCD}} + 2{S_{ABB'A'}} + 2{S_{BCC'B'}} = 2{x^2} + 2.x.\frac{{18}}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{{18}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\]

Xét hàm số \[S(x) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}(0 < x \le 4)\], ta có: \[S'(x) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 108}}{{{x^2}}} = \frac{{4(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{{x^2}}}\]

\[S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\]

Bảng biến thiên:

 Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn (ảnh 2)

Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây S(x) là nhỏ nhất.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có S(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3, suy ra h = 2.

Vậy cần xây bể có chiều cao là 2 (m).

Lời giải

Tập xác định: \({\rm{D}} = {\rm{R}}\).

\({y^\prime } = - \frac{{15\left( {9{t^2} + 1} \right) - 270{t^2}}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{ - 135{t^2} + 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\({{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 135{{\rm{t}}^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}({\rm{vt}} \ge 0)\)

Bảng biến thiên

 Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ y có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là \(t = 0\) và thấp nhất \(t = \frac{1}{3}\)