Câu hỏi:

31/07/2025 16 Lưu

Một hồ nược nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ (Hình vẽ), nó được giối hạn bởi các trục toạ độ và đồ thị của hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\). Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là \(100\;{\rm{m}}\)

(Nguồn: \({\rm{A}}\). Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2010).

a) Đường dạo ven hổ chạy dọc theo trục Ox dài bao nhiêu mét?

b) Tại những điểm nào trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) thì khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hổ đối diện là lôn nhất? Tìm khoảng cách lớn nhất đó.

c) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số \(y =  - 1,5x + 18\). Người ta dự định xây dựng bên bờ hổ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyển đến con đường này là ngắn nhất. Tìm tọ̣a độ của điểm để xây bến thuyền này.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

a) Trong Hình 25 , đồ thị của hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\) cắt tia $O x$ tại điềm có hoành độ \(x = 8\). Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài \(800\;{\rm{m}}\).

b) Ta khảo sát hàm số: \(f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\) vổi \(0 \le x \le 8\).

\({f^\prime }(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - 3{x^2} + 18x - 15} \right)\); \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 6x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1{\rm{ hoac }}x = 5.\)

Bảng biến thiên:

 Một hồ nược nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ (ảnh 1)

Căn cử bảng biến thiên, ta có: \({\max _{[0,8]}}f(x) = f(5) = 8,1\) tại \(x = 5\).

Vậy khoảng cách lôn nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) đến bờ hồ đối diện là:

\(100.\left( {{{\max }_{[0,81}}f(x)} \right) = 100 \cdot f(5) = 100 \cdot 8,1 = 810(\;{\rm{m}})\)

c) Xét điểm \(M(x;f(x))\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\) với \(0 \le x \le 8\).

Khoảng cách từ điểm \(M(x;f(x))\) đến đường thẳng \(y = - 1,5x + 18 \Leftrightarrow - 1,5x - y + 18 = 0\) là:

\(MH = \frac{{\left| { - 1,5x - \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right) + 18} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1,5)}^2} + 1} }} = \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }}.\)

Ta khảo sát hàm số: \(h(x) = {x^3} - 9{x^2} + 124\) với \(0 \le x \le 8\).

\({h^\prime }(x) = 3{x^2} - 18x{\rm{; }}{h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0{\rm{ hoac }}x = 6\)

Bảng biến thiên:

 Một hồ nược nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ (ảnh 2)

 

Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \(h(x) > 0\) với \(0 \le x \le 8\);

\({\min _{[0,8]}}h(x) = h(6) = 16{\rm{ tai }}x = 6.{\rm{ }}\)

Do đó, \(\min MH = {\min _{[0,8]}}\frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }} = \frac{1}{{10\sqrt {3,25} }} \cdot {\min _{[0,8]}}h(x) = \frac{{16}}{{10\sqrt {3,25} }} \approx 0,8875\) và đạt được tại \(x = 6\). Khi đó, \(f(6) = 7,4\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD’ như hình vẽ trên

Gọi x (m) là chiều rộng của bể, ta có \[0 < x \le 4\].

Chiều dài của bể là 2x (m).

Gọi h (m) là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là V = x.(2x).h.

Suy ra: \[h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}{\rm{ }}(m)\]

Tổng diện tích các mặt cần xây là:

\[S = {S_{ABCD}} + 2{S_{ABB'A'}} + 2{S_{BCC'B'}} = 2{x^2} + 2.x.\frac{{18}}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{{18}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\]

Xét hàm số \[S(x) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}(0 < x \le 4)\], ta có: \[S'(x) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 108}}{{{x^2}}} = \frac{{4(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{{x^2}}}\]

\[S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\]

Bảng biến thiên:

 Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn (ảnh 2)

Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây S(x) là nhỏ nhất.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có S(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3, suy ra h = 2.

Vậy cần xây bể có chiều cao là 2 (m).

Lời giải

Tập xác định: \({\rm{D}} = {\rm{R}}\).

\({y^\prime } = - \frac{{15\left( {9{t^2} + 1} \right) - 270{t^2}}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = - \frac{{ - 135{t^2} + 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{\left( {9{t^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\({{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 135{{\rm{t}}^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}({\rm{vt}} \ge 0)\)

Bảng biến thiên

 Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ y có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là \(t = 0\) và thấp nhất \(t = \frac{1}{3}\)