Một hồ nược nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ (Hình vẽ), nó được giối hạn bởi các trục toạ độ và đồ thị của hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\). Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là \(100\;{\rm{m}}\)

(Nguồn: \({\rm{A}}\). Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2010).

a) Đường dạo ven hổ chạy dọc theo trục Ox dài bao nhiêu mét?

b) Tại những điểm nào trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) thì khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hổ đối diện là lôn nhất? Tìm khoảng cách lớn nhất đó.

c) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số \(y =  - 1,5x + 18\). Người ta dự định xây dựng bên bờ hổ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyển đến con đường này là ngắn nhất. Tìm tọ̣a độ của điểm để xây bến thuyền này.

a) Trong Hình 25 , đồ thị của hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\) cắt tia $O x$ tại điềm có hoành độ \(x = 8\). Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài \(800\;{\rm{m}}\).

b) Ta khảo sát hàm số: \(f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\) vổi \(0 \le x \le 8\).

\({f^\prime }(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - 3{x^2} + 18x - 15} \right)\); \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 6x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1{\rm{ hoac }}x = 5.\)

Bảng biến thiên:

Căn cử bảng biến thiên, ta có: \({\max _{[0,8]}}f(x) = f(5) = 8,1\) tại \(x = 5\).

Vậy khoảng cách lôn nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) đến bờ hồ đối diện là:

\(100.\left( {{{\max }_{[0,81}}f(x)} \right) = 100 \cdot f(5) = 100 \cdot 8,1 = 810(\;{\rm{m}})\)

c) Xét điểm \(M(x;f(x))\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\) với \(0 \le x \le 8\).

Khoảng cách từ điểm \(M(x;f(x))\) đến đường thẳng \(y = - 1,5x + 18 \Leftrightarrow - 1,5x - y + 18 = 0\) là:

\(MH = \frac{{\left| { - 1,5x - \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right) + 18} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1,5)}^2} + 1} }} = \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }}.\)

Ta khảo sát hàm số: \(h(x) = {x^3} - 9{x^2} + 124\) với \(0 \le x \le 8\).

\({h^\prime }(x) = 3{x^2} - 18x{\rm{; }}{h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0{\rm{ hoac }}x = 6\)

Bảng biến thiên:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \(h(x) > 0\) với \(0 \le x \le 8\);

\({\min _{[0,8]}}h(x) = h(6) = 16{\rm{ tai }}x = 6.{\rm{ }}\)

Do đó, \(\min MH = {\min _{[0,8]}}\frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }} = \frac{1}{{10\sqrt {3,25} }} \cdot {\min _{[0,8]}}h(x) = \frac{{16}}{{10\sqrt {3,25} }} \approx 0,8875\) và đạt được tại \(x = 6\). Khi đó, \(f(6) = 7,4\).