Khi một vật lạ mắc kẹt trong khí quản khiến ta phải ho, cơ hoành đẩy lên trên gây ra tăng áp lực trong phổi, theo đó cuống họng co thắt làm hẹp khí quản khiến không khí đi qua mạnh hơn. Đối với một lượng không khí bị đẩy ra trong một khoảng thời gian cố định, khí quản càng nhỏ thì luồng không khí càng đẩy ra nhanh hơn. Vận tốc luồng khí thoát ra càng cao, lực tác động lên vật lạ càng lớn. Qua nghiên cứu một số trường hợp, người ta nhận thấy vận tốc \(v\) của luồng khí liên hệ với bán kính \(x\) của khí quản theo công thức: \(v(x) = k\left( {{x_0} - x} \right){x^2}{\rm{ v?i }}\frac{1}{2}{x_0} \le x \le {x_0},\)trong đó \(k\) là hằng số \((k > 0)\) và \({x_0}\) là bán kính khí quản ở trạng thái bình thường. Tìm \(x\) theo \({x_0}\) để vận tốc của luồng khí một cơn ho trong trường hợp này là lớn nhất. (Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p.285)

Xem bể chứa có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ trên

Gọi x (m) là chiều rộng của bể, ta có \[0 < x \le 4\].

Chiều dài của bể là 2x (m).

Gọi h (m) là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là V = x.(2x).h.

Suy ra: \[h = \frac{V}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{2{x^2}}} = \frac{{18}}{{{x^2}}}{\rm{ }}(m)\]

Tổng diện tích các mặt cần xây là:

\[S = {S_{ABCD}} + 2{S_{ABB'A'}} + 2{S_{BCC'B'}} = 2{x^2} + 2.x.\frac{{18}}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{{18}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}\]

Xét hàm số \[S(x) = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}(0 < x \le 4)\], ta có: \[S'(x) = 4x - \frac{{108}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 108}}{{{x^2}}} = \frac{{4(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{{x^2}}}\]

\[S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\]

Bảng biến thiên:

Chi phí vật liệu xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây S(x) là nhỏ nhất.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có S(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3, suy ra h = 2.

Vậy cần xây bể có chiều cao là 2 (m).

a) Trong Hình 25 , đồ thị của hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\) cắt tia $O x$ tại điềm có hoành độ \(x = 8\). Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài \(800\;{\rm{m}}\).

b) Ta khảo sát hàm số: \(f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\) vổi \(0 \le x \le 8\).

\({f^\prime }(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - 3{x^2} + 18x - 15} \right)\); \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 6x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1{\rm{ hoac }}x = 5.\)

Bảng biến thiên:

Căn cử bảng biến thiên, ta có: \({\max _{[0,8]}}f(x) = f(5) = 8,1\) tại \(x = 5\).

Vậy khoảng cách lôn nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) đến bờ hồ đối diện là:

\(100.\left( {{{\max }_{[0,81}}f(x)} \right) = 100 \cdot f(5) = 100 \cdot 8,1 = 810(\;{\rm{m}})\)

c) Xét điểm \(M(x;f(x))\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right)\) với \(0 \le x \le 8\).

Khoảng cách từ điểm \(M(x;f(x))\) đến đường thẳng \(y = - 1,5x + 18 \Leftrightarrow - 1,5x - y + 18 = 0\) là:

\(MH = \frac{{\left| { - 1,5x - \frac{1}{{10}}\left( { - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56} \right) + 18} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1,5)}^2} + 1} }} = \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }}.\)

Ta khảo sát hàm số: \(h(x) = {x^3} - 9{x^2} + 124\) với \(0 \le x \le 8\).

\({h^\prime }(x) = 3{x^2} - 18x{\rm{; }}{h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0{\rm{ hoac }}x = 6\)

Bảng biến thiên:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \(h(x) > 0\) với \(0 \le x \le 8\);

\({\min _{[0,8]}}h(x) = h(6) = 16{\rm{ tai }}x = 6.{\rm{ }}\)

Do đó, \(\min MH = {\min _{[0,8]}}\frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }} = \frac{1}{{10\sqrt {3,25} }} \cdot {\min _{[0,8]}}h(x) = \frac{{16}}{{10\sqrt {3,25} }} \approx 0,8875\) và đạt được tại \(x = 6\). Khi đó, \(f(6) = 7,4\).