Câu hỏi:

05/08/2025 9 Lưu

Cho tam giác \(ABC\)\(AB = 2\)cm, \(BC = 4\)cm, \(CA = 5\)cm. Tính \(\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} \). 

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

v (ảnh 1)

Ta có \[\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ACB}\].

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) có

\(\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC \cdot BC}}\) \( = \frac{{{5^2} + {4^2} - {2^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 4}} = \frac{{37}}{{40}}\).

Do đó \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)\( = CA \cdot CB \cdot \cos \widehat {ACB}\)\( = 5 \cdot 4 \cdot \frac{{37}}{{40}} = \frac{{37}}{2}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} \).

b) Sai. Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACM\) nên

\(3\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)

c) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BA \bot BC\), suy ra \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {BA}  = 0\).

d) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BG}  \cdot \overrightarrow {CM}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BA} ^2} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  - \frac{1}{3}{\overrightarrow {BC} ^2}\)

\( = \frac{1}{4} \cdot {\left( {4a} \right)^2} - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {\left( {3a} \right)^2} = {a^2}.\) (\(BC = AD = 3a\)).

Lời giải

c (ảnh 1)

a) Sai. \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC\cos \widehat {BAC} = 2a \cdot 3a \cdot \cos 60^\circ  = 3{a^2}\).

b) Sai. Do \(I\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

c) Đúng. Vì \(J \in AC\) và \(12AJ = 7AC\) nên \(\overrightarrow {AJ}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {BJ}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AJ}  =  - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} \).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AI}  \cdot \overrightarrow {BJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB}  + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \frac{7}{{12}}{{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( { - 4{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 3{a^2} - 3{a^2} + \frac{7}{{12}} \cdot 9{a^2}} \right) = 0\).

Vậy \(AI \bot BJ\).

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP