Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 30^\circ ,AC = 2\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BM} .\)

a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \).

b) Sai. \(\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .\)

c) Đúng. \(\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {AE}  = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\)

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AF}  \cdot \overrightarrow {EF}  = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\)

                                        \( = \frac{{ - 3}}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + \frac{3}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = 0 \Rightarrow AF \bot EF{\rm{. }}\)

Ta có \({\overrightarrow {AF} ^2} = {\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}\).

\({\overrightarrow {EF} ^2} = {\left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{3}{8}\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}.\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow {AF} ^2} = {\overrightarrow {EF} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2} \Rightarrow AF = EF\). Vậy tam giác \(AEF\) vuông cân tại \(F\).

Gọi \(\overrightarrow {{v_0}} \) là vận tốc riêng của máy bay \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right| = 700\) (km/h).

 \(\overrightarrow {{v_1}} \) là vận tốc gió \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 40\) (km/h), \(\overrightarrow {{v_2}} \) là vận tốc của máy bay khi gặp gió.

Khi đó \(\overrightarrow {{v_2}}  = \overrightarrow {{v_0}}  + \overrightarrow {{v_1}} \).

Từ giả thiết, dễ thấy \(\left( {\overrightarrow {{v_0}} ,\overrightarrow {{v_1}} } \right) = 45^\circ \).

Ta có \({\overrightarrow {{v_2}} ^2} = {\left( {\overrightarrow {{v_0}}  + \overrightarrow {{v_1}} } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_0}}  \cdot \overrightarrow {{v_1}}  = {\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{v_0}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| \cdot \cos 45^\circ \)

                \( = {700^2} + {40^2} + 2 \cdot 700 \cdot 40 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 491\,600 + 28\,000\sqrt 2 .\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = \sqrt {491\,600 + 28\,000\sqrt 2 }  \approx 729\) (km/h).

Đáp án: 729.