Tam giác \[ABC\] có \(\cos \left( {A + B} \right) = - \frac{1}{5}\), \[AC = 6\], \[BC = 5\]. Tính độ dài cạnh \[AB\].

Giả sử tàu du lịch xuất phát từ vị trí \(A\), chuyển động theo hướng \(N80^\circ E\) tới vị trí \(B\) sau đó chuyển hướng \(E80^\circ S\) tới vị trí \(C\) như hình vẽ dưới đây:

Ta có \(\widehat {ABC} = 180^\circ  - 10^\circ  - 20^\circ  = 150^\circ \).

Tàu chạy từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) với vận tốc \(20\,\,{\rm{km/h}}\) trong 30 phút  (tức 0,5 giờ) nên: \(AB = 20 \cdot 0,5 = 10\) (km).

Tàu chạy từ vị trí  \(B\) đến vị trí  \(C\) với vận tốc \(20\,\,{\rm{km/h}}\) trong 36 phút (tức 0,6 giờ) nên: \(BC = 20 \cdot 0,6 = 12\) (km).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) ta được:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = {10^2} + {12^2} - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos 150^\circ  \approx 452\).

Suy ra \(AC \approx \sqrt {452}  \approx 21,3\,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) một khoảng \(21,3\) km. Đáp án: 21,3.

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác \[AHB\] vuông tại \[H\] nên ta có \[AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}}  = 4\sqrt {26} \].

Ta có \[\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{5}{{\sqrt {26} }} \Rightarrow \widehat {BAH} \approx 78,69^\circ  \Rightarrow \widehat {ABC} \approx 78,69^\circ  \Rightarrow \widehat {ACB} \approx 56,31^\circ \].

Áp dụng định lý sin cho tam giác \[ABC\], ta có \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\].

Suy ra \[BC \approx 17,3\] (m).