Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(2; - 1;4)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P):x + 3y - z - 1 = 0\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 3 - 3t}\\{z = 5 + 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\).

a) Hãy tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của \(d\).

b) Hãy tìm toạ độ của các điểm thuộc \(d\) ứng với các giá trị \(t = 0,t =  - 1,t = 2\).

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;2;3)\) và \(B(3;5;9)\).

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số).

a) Tìm tọa độ của điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), biết \(M\) có hoành độ bằng 5 .

b) Chứng minh rằng điểm \(N(8;2;9)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

c) Chứng minh rằng điểm \(P( - 1;5;4)\) không thuộc đường thẳng  Lập phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta ^\prime }\), biết \({\Delta ^\prime }\) đi qua \(P\) và song song với \(\Delta \).

d) Tìm toạ độ của điểm \(I\), biết \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) : \(x - y + z + 9 = 0\).

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 3 + 2t}\\{z =  - 1 + 3t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số).

a) Chỉ ra toạ độ hai điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \).

b) Điểm nào trong các điểm \(C(6; - 7; - 16),D( - 3;11; - 11)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) ?

Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B{C^\prime }\) mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 3t}\\{y = 1}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)

a) Hãy chỉ ra một điểm thuộc \(\Delta \) và một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta ^\prime }\) đi qua \(A(2;1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = (3;0;2)\).

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(A(1;2;1),B(7;5;3)\), \(C(4;2;0),{A^\prime }(4;9;9)\). Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng \(AB,{A^\prime }{C^\prime }\) và \(B{B^\prime }\).