Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta $ đi qua $A(2; - 1;4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 3y - z - 1 = 0$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 46 bài tập Tìm vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng, phương trình đường thẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Mặt phắng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (1;3; - 1)$

Vi $\Delta \bot ({\rm{P}})$ nên đường thẳng $\Delta $ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $({\rm{P}})$ làm vectơ chí phương.

Đường thắng $\Delta $ đi qua ${\rm{A}}(2; - 1;4)$, có vectơ chỉ phương $\vec u = (1;3; - 1)$ có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 + 3 t và phuong trình chính tắc là: \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{- 1} \\ z = 4 - t \end{cases}$

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 3 - 3t}\\{z = 5 + 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.$.

a) Hãy tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của $d$.

b) Hãy tìm toạ độ của các điểm thuộc $d$ ứng với các giá trị $t = 0,t = - 1,t = 2$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Một vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec a = (2; - 3;4)$.

b) Với $t = 0$, thay $t = 0$ vào phương trình của $d$, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2.0 = - 1}\\{y = 3 - 3.0 = 3}\\{z = 5 + 4.0 = 5.}\end{array}} \right.$

Vậy điểm ${M_1}( - 1;3;5)$ thuộc $d$ ứng với $t = 0$.

Tương tự với $t = - 1$ và $t = 2$, ta có các điểm thuộc $d$ tương ứng là ${M_2}( - 3;6;1),{M_3}(3; - 3;13)$.

Câu 2

Cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình tham số: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số).

a) Tìm tọa độ của điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta $, biết $M$ có hoành độ bằng 5 .

b) Chứng minh rằng điểm $N(8;2;9)$ thuộc đường thẳng $\Delta $.

c) Chứng minh rằng điểm $P( - 1;5;4)$ không thuộc đường thẳng Lập phương trình tham số của đường thẳng ${\Delta ^\prime }$, biết ${\Delta ^\prime }$ đi qua $P$ và song song với $\Delta $.

d) Tìm toạ độ của điểm $I$, biết $I$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $(P)$ : $x - y + z + 9 = 0$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì $M$ thuộc $\Delta $ nên $M(2 - 3t;4 + t;5 - 2t)(t \in \mathbb{R})$.

Ta có: $2 - 3t = 5$, suy ra $t = - 1$. Do đó $4|t = 4|( - 1) = 3,5 - 2t = 5 - 2 \cdot ( - 1) = 7$. Vậy $M(5;3;7)$.

b) Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 = 2 - 3t}\\{2 = 4 + t}\\{9 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow t = - 2} \right.$. Suy ra tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm $N(8;2;9)$ thuộc đường thẳng $\Delta $.

c) Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 = 2 - 3t}\\{5 = 4 + t}\\{4 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.$. Suy ra không tồn tại số thực $t$ thoả

mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm $P( - 1;5;4)$ không thuộc đường thẳng $\Delta $.

Do $\vec u = ( - 3;1; - 2)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta $ và $\Delta //{\Delta ^\prime }$ nên $\vec u = ( - 3;1; - 2)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta $ '.

Phương trình tham số của đường thẳng ${\Delta ^\prime }$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 - 3{t^\prime }}\\{y = 5 + {t^\prime }}\\{z = 4 - 2{t^\prime }}\end{array}} \right.$ ( ${t^\prime }$ là tham số).

d) Vì $I$ thuộc $\Delta $ nên $I(2 - 3a;4 + a;5 - 2a)(a \in \mathbb{R})$. Mà $I$ thuộc $(P)$ nên $(2 - 3a) - (4 + a) + (5 - 2a) + 9 = 0 \Leftrightarrow a = 2$. Vậy $I( - 4;6;1)$.

Câu 3