Câu hỏi:

10/08/2025 34 Lưu

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(2; - 1;4)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P):x + 3y - z - 1 = 0\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;3; - 1)\)

Vi \(\Delta  \bot ({\rm{P}})\) nên đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(({\rm{P}})\) làm vectơ chí phương.

Đường thắng \(\Delta \) đi qua \({\rm{A}}(2; - 1;4)\), có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;3; - 1)\) có phương trình tham số là: x=2+ty=1+3t và phuong trình chính tắc là: x21=y+13=z41z=4t

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Vì \(M\) thuộc \(\Delta \) nên \(M(2 - 3t;4 + t;5 - 2t)(t \in \mathbb{R})\).

Ta có: \(2 - 3t = 5\), suy ra \(t =  - 1\). Do đó \(4|t = 4|( - 1) = 3,5 - 2t = 5 - 2 \cdot ( - 1) = 7\). Vậy \(M(5;3;7)\).

b) Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 = 2 - 3t}\\{2 = 4 + t}\\{9 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow t =  - 2} \right.\). Suy ra tồn tại số thực \(t\) thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm \(N(8;2;9)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

c) Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 = 2 - 3t}\\{5 = 4 + t}\\{4 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Suy ra không tồn tại số thực \(t\) thoả

mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm \(P( - 1;5;4)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \).

Do \(\vec u = ( - 3;1; - 2)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) và \(\Delta //{\Delta ^\prime }\) nên \(\vec u = ( - 3;1; - 2)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) '.

Phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta ^\prime }\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 - 3{t^\prime }}\\{y = 5 + {t^\prime }}\\{z = 4 - 2{t^\prime }}\end{array}} \right.\) ( \({t^\prime }\) là tham số).

d) Vì \(I\) thuộc \(\Delta \) nên \(I(2 - 3a;4 + a;5 - 2a)(a \in \mathbb{R})\). Mà \(I\) thuộc \((P)\) nên \((2 - 3a) - (4 + a) + (5 - 2a) + 9 = 0 \Leftrightarrow a = 2\). Vậy \(I( - 4;6;1)\).

Lời giải

a) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của \(\Delta \) lần lượt là:

x=22ty=5+3tz=7+4t ( t là tham số), x22=y+53=z74.

b) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = (3;5; - 1)\) là một vectơ chi phương của \(\Delta \). Suy ra phương trình tham số và phương trình chính tắc của \(\Delta \) lần lượt là:

x=1+3ty=5tz=4t ( t là tham số), x+13=y5=z41

c) Vectơ \(\vec n = (2; - 5;6)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) mà \(\Delta  \bot (P)\) nên \(\vec n = (2; - 5;6)\) là một vectơ chi phương của đường thẳng \(\Delta \). Suy ra phương trình tham số và phương trình chính tắc của \(\Delta \) lần lượt là:

x=3+2ty=25tz=1+6t ( t là tham số), x32=y25=z+16