Cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình tham số: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số).

a) Tìm tọa độ của điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta $, biết $M$ có hoành độ bằng 5 .

b) Chứng minh rằng điểm $N(8;2;9)$ thuộc đường thẳng $\Delta $.

c) Chứng minh rằng điểm $P( - 1;5;4)$ không thuộc đường thẳng Lập phương trình tham số của đường thẳng ${\Delta ^\prime }$, biết ${\Delta ^\prime }$ đi qua $P$ và song song với $\Delta $.

d) Tìm toạ độ của điểm $I$, biết $I$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $(P)$ : $x - y + z + 9 = 0$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 46 bài tập Tìm vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng, phương trình đường thẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Vì $M$ thuộc $\Delta $ nên $M(2 - 3t;4 + t;5 - 2t)(t \in \mathbb{R})$.

Ta có: $2 - 3t = 5$, suy ra $t = - 1$. Do đó $4|t = 4|( - 1) = 3,5 - 2t = 5 - 2 \cdot ( - 1) = 7$. Vậy $M(5;3;7)$.

b) Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 = 2 - 3t}\\{2 = 4 + t}\\{9 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow t = - 2} \right.$. Suy ra tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm $N(8;2;9)$ thuộc đường thẳng $\Delta $.

c) Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 = 2 - 3t}\\{5 = 4 + t}\\{4 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.$. Suy ra không tồn tại số thực $t$ thoả

mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm $P( - 1;5;4)$ không thuộc đường thẳng $\Delta $.

Do $\vec u = ( - 3;1; - 2)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta $ và $\Delta //{\Delta ^\prime }$ nên $\vec u = ( - 3;1; - 2)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta $ '.

Phương trình tham số của đường thẳng ${\Delta ^\prime }$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 - 3{t^\prime }}\\{y = 5 + {t^\prime }}\\{z = 4 - 2{t^\prime }}\end{array}} \right.$ ( ${t^\prime }$ là tham số).

d) Vì $I$ thuộc $\Delta $ nên $I(2 - 3a;4 + a;5 - 2a)(a \in \mathbb{R})$. Mà $I$ thuộc $(P)$ nên $(2 - 3a) - (4 + a) + (5 - 2a) + 9 = 0 \Leftrightarrow a = 2$. Vậy $I( - 4;6;1)$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta $ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\Delta $ đi qua điểm $A(2; - 5;7)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = ( - 2;3;4)$;

b) $\Delta $ đi qua hai điểm $M( - 1;0;4)$ và $N(2;5;3)$.

c) đi qua điểm $B(3;2; - 1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x - 5y + 6z - 7 = 0$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của $\Delta $ lần lượt là:

$\{\begin{array}{l} x = 2 - 2 t \\ y = - 5 + 3 t \\ z = 7 + 4 t \end{array} (t là tham số), \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 5}{3} = \frac{z - 7}{4} .$

b) Ta có: $\overrightarrow {MN} = (3;5; - 1)$ là một vectơ chi phương của $\Delta $. Suy ra phương trình tham số và phương trình chính tắc của $\Delta $ lần lượt là:

$\{\begin{array}{l} x = - 1 + 3 t \\ y = 5 t \\ z = 4 - t \end{array} (t là tham số), \frac{x + 1}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z - 4}{- 1} .$

c) Vectơ $\vec n = (2; - 5;6)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ mà $\Delta \bot (P)$ nên $\vec n = (2; - 5;6)$ là một vectơ chi phương của đường thẳng $\Delta $. Suy ra phương trình tham số và phương trình chính tắc của $\Delta $ lần lượt là:

$\{\begin{array}{l} x = 3 + 2 t \\ y = 2 - 5 t \\ z = - 1 + 6 t \end{array} (t là tham số), \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{- 5} = \frac{z + 1}{6} .$

Câu 2

Cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình tham số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 3 + 2t}\\{z = - 1 + 3t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số).

a) Chỉ ra toạ độ hai điểm thuộc đường thẳng $\Delta $.

b) Điểm nào trong các điểm $C(6; - 7; - 16),D( - 3;11; - 11)$ thuộc đường thẳng $\Delta $ ?

Xem đáp án

Lời giải

a) Với ${\rm{t}} = 0$ ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\\{z = - 1}\end{array}} \right.$. Suy ra ${\rm{A}}(1;3; - 1) \in \Delta $. Với ${\rm{t}} = 1$ ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 3}\\{z = - 1}\end{array}} \right.$. Suy ra ${\rm{B}}(0;5;2) \in \Delta $.

b) Thay tọa độ điểm ${\rm{C}}(6; - 7; - 16)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta $ ta được:

$\{\begin{array}{l} 6 = 1 - t \\ - 7 = 3 + 2 t \\ - 16 = - 1 + 3 t \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} t = - 5 \\ t = - 5 \\ t = - 5 \end{array} \Leftrightarrow t = - 5. Do dó, C \in Δ .$

Thay tọa độ điểm ${\rm{D}}( - 3;11; - 11)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta $ ta được:

$\{\begin{array}{l} - 3 = 1 - t \\ 11 = 3 + 2 t \\ - 11 = - 1 + 3 t \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} t = 4 \\ t = 4 \\ t = - \frac{10}{3} \end{array} (vô lí). Do dó, D \notin Δ .$

Vậy trong hai điểm C và D , chỉ có điểm C thuộc đường thẳng $\Delta $.

Câu 3