Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz , hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:

${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{3}\text{ và }{\Delta }_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}\text{. }$

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục \(d\) của mũi khoan và trục \({d^\prime }\) của giá đỡ có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 5 + 5{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)

Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng \(d\) trên trụ cầu và đường thẳng \({d^\prime }\) trên sàn cầu có phương trình lần lượt là:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 0}\\{z = 50 + t}\end{array}{\rm{ và  }}{d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 20}\\{y = {t^\prime }}\\{z = 50.}\end{array}} \right.} \right.\)

Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \({d^\prime }\).

(H.vẽ) Xét tình huống sau:

Trong không gian Oxyz , mắt một người quan sát ở điếm \({\rm{M}}(2\); 3; -4) và vật cần quan sát đặt tại điếm \({\rm{N}}( - 1;0;8)\). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm \({\rm{O}}(0;0;0)\), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phắng Oxy .

Trong không gian Oxyz , một viên đạn được bắn ra từ điểm \({\rm{A}}(1;3;4)\) và trong 3 giây, đằu đạn đì với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là \(\vec v = (2;1,6)\). Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mō̉i tình huống sau hay không?

a) Mục tiêu đặt tại điểm \(M\left( {7;\frac{7}{2};21} \right)\).

b) Mục tiêu đặt tại điểm \(N( - 3;1; - 8)\).

Trên mặt đất phả̉ng, người ta dựng một cây cột thẩng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí \(O\) trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉhh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng ${560}^{°}\text{E}$ (hướng tạo với hướng nam góc ${60}^{°}$ và tạo với hướng đông góc ${30}^{°}$ (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gó́c toạ độ là O , tia Ox chi hướng nam, tia Oy chi hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trinh đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục \(d\) của nòng súng và cọc đỡ bia \({d^\prime }\) có phương trình lần lượt là:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 20}\\{z = 9}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 1 + 3{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)

Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \({d^\prime }\), chúng có vuông góc với nhau không?