Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm \(O\) (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là \(O(0;0;0),A(3; - 4;2)\), \(B( - 5; - 2;1)\), đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.

Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm \((0;0;5)\) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng.

a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng.

b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Suy ra O là trung điếm của \({\rm{AC}},{\rm{BD}}\).

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra \(SO \bot AC\), \(SO \bot BD\) nên \(SO \bot (ABCD)\).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vi ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}} = 115\sqrt 2 \).

Xét tam giác SOB vuông tại \(O\), có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{{219}^2} - {{(115\sqrt 2 )}^2}}  = 7\sqrt {439} \)

Ta có \(A( - 115\sqrt 2 ;0;0),B(0; - 115\sqrt 2 ;0),C(115\sqrt 2 ;0;0),S(0;0;7\sqrt {439} )\)

Ta có \(\overrightarrow {SA}  = ( - 115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} ),\overrightarrow {SB}  = (0; - 115\sqrt 2 ; - 7\sqrt {439} )\),

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SC}  = (115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} )\\{\rm{Ta c\'o  }}[\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 7\sqrt {439} }\\{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&{ - 115\sqrt 2 }\\{ - 7\sqrt {439} }&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&0\\0&{ - 115\sqrt 2 }\end{array}} \right|} \right)\\ = ( - 805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450)\end{array}\)

\([\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\\0&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&0\\{ - 7\sqrt {439} }&{115\sqrt 2 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 115\sqrt 2 }\\{115\sqrt 2 }&0\end{array}} \right|} \right) = (805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450)\)

Mặt phắng (SAB) nhận \(\vec n = \frac{1}{5}[\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ] = ( - 161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phắng (SBC) nhận \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = \frac{1}{5}[\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = (161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290)\) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

\(\begin{array}{l}\cos ((SAB),(SBC)) = \frac{{\left| { - {{(161\sqrt {878} )}^2} + {{(161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}} \right|}}{{\sqrt {{{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}}  \cdot \sqrt {{{(161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}} }}\\ = \frac{{{{5290}^2}}}{{{{(161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}}} \approx 0,3807\end{array}\)

a) Phương trình chính tắc của đường cáp là: \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).

b) Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) nên độ dài AM bằng \(4,5t(\;{\rm{m}})\). Vì vậy \(|\overrightarrow {AM} | = 4,5t(t \ge 0)\).

Do hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\vec u\) là cùng phương và cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM}  = k\vec u\) với \(k\) là số thực dương nào đó. Suy ra: \(|\overrightarrow {AM} | = k|\vec u| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + 1}  = 3k\). Do đó \(3k = 4,5t\). Suy ra \(k = \frac{{3t}}{2}\). Vì thế, ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\).

Gọi toạ độ của điểm \(M\) là \(\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM}  = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + {x_A}}\\{{y_M} =  - 3t + {y_A}}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + 10}\\{{y_M} =  - 3t + 3}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy điểm \(M\) có toạ độ là \(\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).

c) Do \({x_B} = 550\) nên \(3t + 10 = 550\), tức là \(t = 180\) (s). Do đó, ta có điểm \(B(550; - 537;270)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{{(550 - 10)}^2} + {{( - 537 - 3)}^2} + {{(270 - 0)}^2}}  = \sqrt {656100}  = 810(\;{\rm{m}})\).