Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là \(40\;{\rm{cm}},44\;{\rm{cm}},48\;{\rm{cm}}\).

a) Khoảng cách từ điểm \(D\) đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

a) Phương trình chính tắc của đường cáp là: \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).

b) Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) nên độ dài AM bằng \(4,5t(\;{\rm{m}})\). Vì vậy \(|\overrightarrow {AM} | = 4,5t(t \ge 0)\).

Do hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\vec u\) là cùng phương và cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM}  = k\vec u\) với \(k\) là số thực dương nào đó. Suy ra: \(|\overrightarrow {AM} | = k|\vec u| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + 1}  = 3k\). Do đó \(3k = 4,5t\). Suy ra \(k = \frac{{3t}}{2}\). Vì thế, ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\).

Gọi toạ độ của điểm \(M\) là \(\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM}  = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + {x_A}}\\{{y_M} =  - 3t + {y_A}}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + 10}\\{{y_M} =  - 3t + 3}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy điểm \(M\) có toạ độ là \(\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).

c) Do \({x_B} = 550\) nên \(3t + 10 = 550\), tức là \(t = 180\) (s). Do đó, ta có điểm \(B(550; - 537;270)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{{(550 - 10)}^2} + {{( - 537 - 3)}^2} + {{(270 - 0)}^2}}  = \sqrt {656100}  = 810(\;{\rm{m}})\).

a) Do điểm \(C(0;0;5)\) nên \(AC = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(2 - 5)}^2}}  = \sqrt {34} (\;{\rm{m}})\);

\(BC = \sqrt {{{( - 5 - 0)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2} + {{(1 - 5)}^2}}  = \sqrt {45}  = 3\sqrt 5 (\;{\rm{m}}){\rm{. }}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = (3; - 4;2),\overrightarrow {OB}  = ( - 5; - 2;1)\) nên \([\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 13; - 26){\rm{. }}\)

Vì thế, vectơ \(\vec n = (0;1;2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAB)\).

Mặt khác, do \(\overrightarrow {CA}  = (3; - 4; - 3),\overrightarrow {BC}  = (5;2;4)\) nên ta có:

- \(\sin (CA,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {CA} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {CA}  \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {CA} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + ( - 4) \cdot 1 + ( - 3) \cdot 2|}}{{\sqrt {34}  \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{10}}{{\sqrt {170} }}\),

suy ra $(CA,(OAB\left)\right)\approx {50}^{°}$. Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là khoảng ${50}^{°}$.

\({\rm{  -  }}\sin (BC,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {BC} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {BC}  \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {BC} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|5 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2|}}{{3\sqrt 5  \cdot \sqrt 5 }} = \frac{2}{3}{\rm{, }}\)

suy ra $(BC,(OAB\left)\right)\approx {42}^{°}$. Vậy góc tạo bởi dây neo BC và mặt phẳng sườn núi là khoảng ${42}^{°}$.