Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí \(A(3,5; - 2;0,4)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \(B(3,5;5,5;0)\) trên đường băng EG (Hình 37 ).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.

b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có nằm trong phạm vi cho phép từ 2,5⁰ đến 3,5⁰ hay không.

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm \(M(5;0;0)\), \(N(0; - 5;0),P(0;0;0,5)\). Tìm tọa độ của điểm \(C\) là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Tìm toạ độ của điểm \(D\) trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m .

e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu \(E(3,5;6,5;0)\) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m . Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Suy ra O là trung điếm của \({\rm{AC}},{\rm{BD}}\).

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra \(SO \bot AC\), \(SO \bot BD\) nên \(SO \bot (ABCD)\).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vi ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}} = 115\sqrt 2 \).

Xét tam giác SOB vuông tại \(O\), có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{{219}^2} - {{(115\sqrt 2 )}^2}}  = 7\sqrt {439} \)

Ta có \(A( - 115\sqrt 2 ;0;0),B(0; - 115\sqrt 2 ;0),C(115\sqrt 2 ;0;0),S(0;0;7\sqrt {439} )\)

Ta có \(\overrightarrow {SA}  = ( - 115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} ),\overrightarrow {SB}  = (0; - 115\sqrt 2 ; - 7\sqrt {439} )\),

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SC}  = (115\sqrt 2 ;0; - 7\sqrt {439} )\\{\rm{Ta c\'o  }}[\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 7\sqrt {439} }\\{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&{ - 115\sqrt 2 }\\{ - 7\sqrt {439} }&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&0\\0&{ - 115\sqrt 2 }\end{array}} \right|} \right)\\ = ( - 805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450)\end{array}\)

\([\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 115\sqrt 2 }&{ - 7\sqrt {439} }\\0&{ - 7\sqrt {439} }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 7\sqrt {439} }&0\\{ - 7\sqrt {439} }&{115\sqrt 2 }\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 115\sqrt 2 }\\{115\sqrt 2 }&0\end{array}} \right|} \right) = (805\sqrt {878} ; - 805\sqrt {878} ;26450)\)

Mặt phắng (SAB) nhận \(\vec n = \frac{1}{5}[\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ] = ( - 161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phắng (SBC) nhận \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = \frac{1}{5}[\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ] = (161\sqrt {878} ; - 161\sqrt {878} ;5290)\) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

\(\begin{array}{l}\cos ((SAB),(SBC)) = \frac{{\left| { - {{(161\sqrt {878} )}^2} + {{(161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}} \right|}}{{\sqrt {{{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}}  \cdot \sqrt {{{(161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}} }}\\ = \frac{{{{5290}^2}}}{{{{(161\sqrt {878} )}^2} + {{( - 161\sqrt {878} )}^2} + {{5290}^2}}} \approx 0,3807\end{array}\)

a) Phương trình chính tắc của đường cáp là: \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).

b) Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) nên độ dài AM bằng \(4,5t(\;{\rm{m}})\). Vì vậy \(|\overrightarrow {AM} | = 4,5t(t \ge 0)\).

Do hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\vec u\) là cùng phương và cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM}  = k\vec u\) với \(k\) là số thực dương nào đó. Suy ra: \(|\overrightarrow {AM} | = k|\vec u| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + 1}  = 3k\). Do đó \(3k = 4,5t\). Suy ra \(k = \frac{{3t}}{2}\). Vì thế, ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\).

Gọi toạ độ của điểm \(M\) là \(\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM}  = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + {x_A}}\\{{y_M} =  - 3t + {y_A}}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + 10}\\{{y_M} =  - 3t + 3}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy điểm \(M\) có toạ độ là \(\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).

c) Do \({x_B} = 550\) nên \(3t + 10 = 550\), tức là \(t = 180\) (s). Do đó, ta có điểm \(B(550; - 537;270)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{{(550 - 10)}^2} + {{( - 537 - 3)}^2} + {{(270 - 0)}^2}}  = \sqrt {656100}  = 810(\;{\rm{m}})\).