Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], cạnh bên \[SA = 2a\] và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \[M\] là trung điểm cạnh \[SD.\] Tính tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng \[\left( {AMC} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] bằng
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], cạnh bên \[SA = 2a\] và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \[M\] là trung điểm cạnh \[SD.\] Tính tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng \[\left( {AMC} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] bằng
A. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
B. \[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\]
C. \[\frac{{\sqrt 5 }}{5}.\]
D. \[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn D
Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz. \(O \equiv A(0;0;0)\); \(B(1;0;0);D(0;1;0);C(1;1;0);S(0;0;2)\)
Do M là trung điểm của SD nên \(M\left( {0;\frac{1}{2};1} \right)\)
\(\overrightarrow {BC} = (0;1;0);\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {2;0;1} \right)\)
\(\overrightarrow {MA} = \left( {0;\frac{1}{2};1} \right);\overrightarrow {AC} = (1;1;0) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1; - \frac{1}{2}} \right)\). VTPT của (AMC) là: \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)\)
\[\cos \left( {\left( {SBC} \right);\left( {AMC} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \tan \left( {\left( {SBC} \right);\left( {AMC} \right)} \right) = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2}}} - 1} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\]
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng \[(P)\], \[(Q)\] có vectơ pháp tuyến lần lượt là \[{\vec n_p} = \left( {m + 2;2m; - m} \right)\], \[{\vec n_Q} = \left( {m;m - 3;2} \right)\]
\[(P) \bot (Q) \Leftrightarrow {\vec n_p}.{\vec n_Q} = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)m + 2m\left( {m - 3} \right) - 2m = 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.\]
Câu 2
A. 600
B. 300
C. \[\arcsin \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
D. \[\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
Lời giải
Chọn D
Gọi \[H\] là trung điểm \[BC\], \[BC = a\sqrt 3 \], \[AH = \frac{a}{2}\].
Chọn hệ trục tọa độ \[H\left( {0;0;0} \right)\], \[A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right)\], \[B\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\], \[C\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\],
\[M\left( {0;0;a} \right)\], \[N\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa mặt phẳng\(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {AMN} \right)\) có một vtpt \[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right]\]\[ = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\]
\(\left( {ABC} \right)\) có một vtpt \[\overrightarrow {HM} \]\[ = \left( {0;0;1} \right)\], từ đó \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\vec n.\overrightarrow {HM} } \right|}}{{\left| {\vec n} \right|HM}}\]\[ = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{1.1}}\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.\)
B.\(\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.\)
C. \[\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}.\]
D.\(\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\(\frac{4}{9}\)
B. \( - \frac{4}{9}.\)
C.\(\frac{4}{{3\sqrt 3 }}.\)
D. \( - \frac{4}{{3\sqrt 3 }}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
B. \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C. \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
D. \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập