Cho hình chóp \(S.ABCD\) có\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(SD\). Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(SD\). Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là.
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(\sqrt 3 \).
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ \[Ox{\rm{yz}}\] sao cho \(A \equiv O\), \(B \in Ox\), \(D \in Oy\), \(S \in Oz\).
\( \Rightarrow B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(D\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)\), \(S\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\). Khi đó \(E\left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)\), \(F\left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {AF} = \left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {AEF} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AF} } \right] = \left( {\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{a}{4}} \right)\)\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right).\].
Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {ABCD} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \overrightarrow {AS} = (0\,;\,0\,;\,a)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right).\).
Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\)và \(\left( {ABCD} \right)\) là.
\[\cos \left( {\left( {AEF} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng \[(P)\], \[(Q)\] có vectơ pháp tuyến lần lượt là \[{\vec n_p} = \left( {m + 2;2m; - m} \right)\], \[{\vec n_Q} = \left( {m;m - 3;2} \right)\]
\[(P) \bot (Q) \Leftrightarrow {\vec n_p}.{\vec n_Q} = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)m + 2m\left( {m - 3} \right) - 2m = 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.\]
Câu 2
A. 600
B. 300
C. \[\arcsin \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
D. \[\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
Lời giải
Chọn D
Gọi \[H\] là trung điểm \[BC\], \[BC = a\sqrt 3 \], \[AH = \frac{a}{2}\].
Chọn hệ trục tọa độ \[H\left( {0;0;0} \right)\], \[A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right)\], \[B\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\], \[C\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\],
\[M\left( {0;0;a} \right)\], \[N\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa mặt phẳng\(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {AMN} \right)\) có một vtpt \[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right]\]\[ = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\]
\(\left( {ABC} \right)\) có một vtpt \[\overrightarrow {HM} \]\[ = \left( {0;0;1} \right)\], từ đó \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\vec n.\overrightarrow {HM} } \right|}}{{\left| {\vec n} \right|HM}}\]\[ = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{1.1}}\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.\)
B.\(\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.\)
C. \[\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}.\]
D.\(\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\(\frac{4}{9}\)
B. \( - \frac{4}{9}.\)
C.\(\frac{4}{{3\sqrt 3 }}.\)
D. \( - \frac{4}{{3\sqrt 3 }}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
B. \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C. \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
D. \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập