Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tâm \(O\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(SA\) và \(BC\), biết \(MN = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] bằng

Gọi \[I\] hình chiếu của \[M\] lên \[\left( {ABCD} \right)\], suy ra \[I\] là trung điểm của \[AO\].

Khi đó \[CI = \frac{3}{4}AC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\].

Xét \[\Delta CNI\]có: \[CN = \frac{a}{2}\], \[\widehat {NCI} = {45^o}\].

Áp dụng định lý cosin ta có:

\[NI = \sqrt {C{N^2} + C{I^2} - 2CN.CI.\cos {{45}^o}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{8} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\].

Xét \[\Delta MIN\] vuông tại \[I\]nên \[MI = \sqrt {M{N^2} - N{I^2}}  = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} - \frac{{5{a^2}}}{8}}  = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}\].

Mà \[MI//SO,\,MI = \frac{1}{2}SO \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\].

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\]như hình vẽ:

Ta có: \[O\left( {0\,;\,0;\,0} \right)\], \[B\left( {0\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,0} \right)\], \[D\left( {0\,;\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,0} \right)\], \[C\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;0\,;\,0} \right)\], \[N\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{4};\,0} \right)\],

\[A\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;0\,;\,0} \right)\], \[S\left( {0\,;0\,;\,\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\], \[M\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;0\,;\,\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\].

Khi đó \[\overrightarrow {MN}  = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;\, - \frac{{\sqrt {14} }}{4}\,} \right)\,\,\], \[\overrightarrow {SB}  = \left( {0\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\,} \right)\], \[\overrightarrow {SD}  = \left( {0\,;\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\,} \right)\].

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\]: \[\overrightarrow n  = \overrightarrow {SB}  \wedge \overrightarrow {SD}  = \left( { - \sqrt 7 \,;\,0\,;\,0} \right)\].

Suy ra \[{\rm{sin}}\left( {MN\,,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - \sqrt 7 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|}}{{\sqrt 7 .\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].