Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có \[A'.ABC\] là tứ diện đều cạnh \[a\]. Gọi \[M\], \[N\] lần lượt là trung điểm của \[AA'\] và \[BB'\]. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] và \[\left( {CMN} \right)\].

Gọi \[O\] là trung điểm của \[AB\]. Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho \[O\left( {0;0;0} \right)\],

\[A\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)\], \[B\left( { - \frac{1}{2};0;0} \right)\], \[C\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\], \[H\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{6};0} \right)\], \[A'H = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]\[ \Rightarrow A'\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\]

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} \]\[ \Rightarrow B'\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\]. Dễ thấy \[\left( {ABC} \right)\] có vtpt \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;0;1} \right)\].

\[M\] là trung điểm \[AA'\]\[ \Rightarrow M\left( {\frac{1}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\], \[N\] là trung điểm \[BB'\]\[ \Rightarrow N\left( {\frac{{ - 3}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\]

\[\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;0;0} \right)\], \[\overrightarrow {CM}  = \left( {\frac{1}{4};\frac{{ - 5\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\]

\[ \Rightarrow \] \[\left( {CMN} \right)\] có vtpt \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}} \right)\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left( {0;2\sqrt 2 ;5} \right)\]

\[\cos \varphi  = \]\[\frac{5}{{\sqrt {33} }}\]\[ \Rightarrow \tan \varphi  = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} - 1} \]\[ = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\]