Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy hình vuông. Cho tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và góc \(SBA\) bằng 300 . Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi \(M,N\) là trung điểm \(AB,BC\). Tìm cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \(\left( {SM,DN} \right)\).

Chọn B

Trong \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(SH \bot AB\) tại \(H\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Kẻ tia \(Az\)//\(SH\) và chọn hệ trục tọa độ \(Axyz\) như hình vẽ sau đây.

Trong tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\), $SB=AB.\cos \widehat{SBA}=a.\cos {30}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Trong tam giác \(SBH\) vuông tại \(H\), $BH=SB.\cos \widehat{SBH}=\frac{3a}{4}$ và $SH=BH.\sin \widehat{SBA}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

\(AH = AB - BH = a - \frac{{3a}}{4} = \frac{a}{4}\) \( \Rightarrow H\left( {0;\frac{a}{4};0} \right) \Rightarrow S\left( {0;\frac{a}{4};\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\).

\(M\left( {0;\frac{a}{2};0} \right)\), \(D\left( {a;0;0} \right)\), \(N\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)\).

Ta có: \[\overrightarrow {SM}  = \left( {0;\frac{a}{4}; - \frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\], \(\overrightarrow {DN}  = \left( { - \frac{a}{2};a;0} \right)\) \( \Rightarrow \)\[\cos \left( {SM,DN} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {DN} } \right|}}{{SN.DN}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\].