Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\) và \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SC,\,SD\)(tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
A. \(\frac{{2\sqrt {39} }}{{39}}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
C. \(\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\).
D. \(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ. Khi đó
\(S\left( {0;\,0;\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\); \(A\left( {\frac{{ - a}}{2};0;\,0} \right)\); \(B\left( {\frac{a}{2};0;\,0} \right)\);\(C\left( {\frac{a}{2};a;\,0} \right)\); \(D\left( {\frac{{ - a}}{2};a;\,0} \right)\)
suy ra \(G\left( {0;\,0;\,\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)\); \(M\left( {\frac{a}{4};\frac{a}{2};\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\); \(N\left( { - \frac{a}{4};\frac{a}{2};\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\)
Ta có mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\), mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {GM} ;\,\overrightarrow {GN} } \right] = \left( {0;\, - \frac{{a\sqrt 3 }}{{24}};\,\frac{a}{4}} \right)\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\), ta có
\[{\rm{cos}}\alpha = \frac{{\left| {\vec n.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|.\left| {\vec k} \right|}}\]\[ = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{{\sqrt {39} }}{{24}}}}\]\[ = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\].
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng \[(P)\], \[(Q)\] có vectơ pháp tuyến lần lượt là \[{\vec n_p} = \left( {m + 2;2m; - m} \right)\], \[{\vec n_Q} = \left( {m;m - 3;2} \right)\]
\[(P) \bot (Q) \Leftrightarrow {\vec n_p}.{\vec n_Q} = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)m + 2m\left( {m - 3} \right) - 2m = 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.\]
Câu 2
A. 600
B. 300
C. \[\arcsin \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
D. \[\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
Lời giải
Chọn D
Gọi \[H\] là trung điểm \[BC\], \[BC = a\sqrt 3 \], \[AH = \frac{a}{2}\].
Chọn hệ trục tọa độ \[H\left( {0;0;0} \right)\], \[A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right)\], \[B\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\], \[C\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\],
\[M\left( {0;0;a} \right)\], \[N\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa mặt phẳng\(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
\(\left( {AMN} \right)\) có một vtpt \[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right]\]\[ = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\]
\(\left( {ABC} \right)\) có một vtpt \[\overrightarrow {HM} \]\[ = \left( {0;0;1} \right)\], từ đó \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\vec n.\overrightarrow {HM} } \right|}}{{\left| {\vec n} \right|HM}}\]\[ = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{1.1}}\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.\)
B.\(\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.\)
C. \[\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}.\]
D.\(\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A.\(\frac{4}{9}\)
B. \( - \frac{4}{9}.\)
C.\(\frac{4}{{3\sqrt 3 }}.\)
D. \( - \frac{4}{{3\sqrt 3 }}.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
B. \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C. \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
D. \(\cos \alpha = \frac{1}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập