Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) song song với nhau một khoảng là \(h\). Một đường tròn \((O)\) tiếp xúc với \(a\) và \(b\). Hỏi tâm \(O\) di động trên đường nào?

Chọn B

Xét nửa \((O)\) có \(MC\) và \(AC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(C\) nên \(OC\) là phân giác \[\widehat {MOA}\] do đó \[\widehat {AOC} = \widehat {COM}\].

Lại có \(MD\) và \(BD\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(D\) nên \(OD\) là phân giác \[\widehat {MOB}\] do đó \[\widehat {DOB} = \widehat {DOM}\].

Từ đó \[\widehat {AOC} + \widehat {BOD} = \widehat {COM} + \widehat {MOD} = \frac{{\widehat {AOC} + \widehat {BOD} + \widehat {COM} + \widehat {MOD}}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \].

Nên \[\widehat {COD} = 90^\circ \] hay \(\Delta COD\) vuông tại \(O\) và \(\widehat {MDO} = \widehat {MOC}\)

Có (g.g) suy ra \(MC.MD = O{M^2}\).

Chọn C

Xét đường tròn \(\left( {O\;{\rm{;}}\;R} \right)\) có \(MA,\;MB\) là tiếp tuyến

Suy ra \(\widehat {BOM} = \widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \((1)\)

 \(\Delta OAC\) có \[OA = OC\] suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\) (tính chất tam giác cân)

\(\widehat {AOB} = \widehat {OCA} + \widehat {OAC}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)

Nên \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}\) \((2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {OCA} = \widehat {BOM}\)

 Mà \(\widehat {OCA}\), \(\widehat {BOM}\) ở vị trí đồng vị

Nên \(CK\,{\rm{//}}\,OM\) suy ra\(\widehat {MOK} = \widehat {CKO}\) (so le trong).

Chứng minh\(\left( {O\;{\rm{;}}\;R} \right)\) \(\Delta OAM = \Delta OCK\) (c.g.c) suy ra \(CK = OM\) (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh \(\Delta KMO = \Delta OCK\) (c.g.c) suy ra \(\widehat {COK} = \widehat {OKM}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {COK} = 90^\circ \)(\(KO\)là trung trực của \(BC\)) suy ra \(\widehat {OKM} = 90^\circ \).

Tứ giác \[{\rm{O}}BMK\] có:

+ \(\widehat {MBO} = 90^\circ \) (\(MB\) là tiếp tuyến của \(\left( {O\;{\rm{;}}\;R} \right)\)).

+ \(\widehat {BOK} = 90^\circ \)(\(KO\) là trung trực của \(BC\)).

+ \(\widehat {OKM} = 90^\circ \) (cmt).

Do đó \(OBMK\) là hình chữ nhật suy ra \(MK = OB = R\).