Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì phương trình có hai nghiệm \({x_1}\); \({x_2}\) là độ dài của hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng \[\sqrt 2 \]?

Chọn C

Phương trình \({x^2} - \left( {2m + 3} \right)x - 2m - 4 = 0\)có \(a - b + c = 1 + \left( {2m + 3} \right) - 2m - 4 = 0\)nên luôn có hai nghiệm \({x_1} = - 1,\,{x_2} = 2m + 4\).

Để \({x_1} \ne {x_2}\)thì \(2m + 4 \ne - 1\) nên \(m \ne \frac{{ - 5}}{2}\).

Ta có \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 5\)

\(1 + \left| {2m + 4} \right| = 5\)

\(\left| {2m + 4} \right| = 4\)

\(2m + 4 = 4\) hoặc \[2m + 4 = - 4\]

\(m = 0\) hoặc \(m = - 4\).

Cả hai giá trị \(m\) tìm được đều thỏa mãn điều kiện. Vậy \(m = 0\)hoặc \(m = - 4\).

Chọn C

Xét phương trình \[2m{x^2} - 4(m - 1)x + 1 = 0{\rm{ (1)}}\]

- Nếu \(m = 0\), thay vào phương trình \[\left( 1 \right)\] ta có: \[ - 4.( - x) + 1 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{4}\]. Suy ra \(m = 0\) thỏa mãn.

- Nếu \({\rm{m}} \ne 0\), ta có \[\Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 2m.1 = 4.{\left( {m - 1} \right)^2} - 2m = 4{m^2} - 10m + 4\]

Để phương trình \[\left( 1 \right)\] có nghiệm duy nhất, tức là phương trình \[\left( 1 \right)\] có nghiệm kép thì

\[\Delta ' = 4{m^2} - 10m + 4 = 0\]

\[m = 2\] hoặc \[m = \frac{1}{2}\]

Vì \[m \in \mathbb{Z}\] nên có hai giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là \[m = 0;{\rm{ }}m = 2\]