Một khu dân cư được bao quanh bởi ba con đường thẳng lập thành một tam giác với độ dài các cạnh là \(900{\rm{ }}m\), \(1200{\rm{ }}m\)và \(1500{\rm{ }}m\). Họ muốn xây dựng một khách sạn bên trong khu dân cư cách đều cả ba con đường đó. Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng là bao nhiêu?

Chọn C

Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \(A\) ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (Định lí Pythagore)

\[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \]

Do đó tâm của đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\] là trung điểm của cạnh huyền \(BC\) và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là: \[R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].

Chọn B

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \[AB{\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }}cm;{\rm{ }}AC{\rm{ }} = {\rm{ }}12{\rm{ }}cm\]\( \Rightarrow BC = 15\,cm\)

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = 54\,c{m^2}\)

Lại có: \({S_{ABC}} = {S_{OAB}} + {S_{OAC}} + {S_{OBC}}\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}r.AB + \frac{1}{2}r.AC + \frac{1}{2}r.BC\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}r.\left( {AB + AC + BC} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}r.{C_{ABC}}\)

\( \Rightarrow r = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{{C_{ABC}}}}\)

\( \Rightarrow r = \frac{{2.54}}{{9 + 12 + 15}} = \frac{{108}}{{36}} = 3\,cm\)