Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng $d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $(\alpha ):x + y - 2z + 1 = 0$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 42 bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = ( - 1;2; - 1)$, mặt phẳng $(\alpha )$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (1;1; - 2)$.

Ta có: $\sin (d,(\alpha )) = \frac{{|\vec n \cdot \vec a|}}{{|\vec n| \cdot |\vec a|}} = \frac{{|( - 1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{1}{2}.$

Vậy $(d, (α)) = 30^{°}$

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian vởi hệ tộ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là $S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right),C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right),D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)$ với $a > 0($ Hình 36).

a) Xác định toạ độ của các vectơ $\overrightarrow {SA} $, $\overrightarrow {CD} $. Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$. Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng $(SAC)$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có: $\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = (a;0;0)$.

Các vectơ $\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} $ lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng SA và CD nên $\cos (S A, C D) = \frac{|\frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot 0 + (- \frac{a \sqrt{3}}{2}) \cdot 0|}{\sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + 0^{2} + {(- \frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} \cdot \sqrt{a^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{a \cdot a} = \frac{1}{2} (do a > 0) .$

Suy ra

(S A, C D) = 60^{°}

b) Ta có $\vec{A C} = (- a; a; 0)$ .

Xét vecto

[\vec{S A}, \vec{A C}] = (|\begin{matrix} 0 & - \frac{a \sqrt{3}}{2} \\ a & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - \frac{a \sqrt{3}}{2} & \frac{a}{2} \\ 0 & - a \end{matrix}|; |\begin{matrix} \frac{a}{2} & 0 \\ - a & a \end{matrix}|)

= (\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}; \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}; \frac{a^{2}}{2})

Khi đó, $\vec n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)$.

$Ta có \sin (S D, (S A C)) = \frac{|\frac{a}{2} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + a \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + (- \frac{a \sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{a^{2}}{2}|}{\sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2} + {(- \frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a^{2}}{2})}^{2}}}$

$= \frac{\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}}{a \sqrt{2} \cdot a^{2} \frac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{42}}{14} .$ Suy ra $(S D, (S A C)) \approx 28^{°}$

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA \bot (ABCD)$. Cho biết $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)$.

Tính góc giũa:

a) hai đường thằng SC và BD.

b) mặt phẳng (SBD) và mặt đáy;

c) đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Xem đáp án

Lời giải

Trong không gian Oxyz, ta có $C(2;3;0),\overrightarrow {SC} = (2;3; - 2)$; $\overline {BD} = ( - 2;3;0)$.

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là $\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)$.

Ta có $\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}$.

Suy ra

(S C, B D) \approx 70^{°} 21^{'}

b) Ta có phương trình mặt phẳng $(SBD)$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$ hay $3x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Mặt phẳng $(SBD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (3;2;3)$, mặt đáy $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec k = (0;0;1)$. Gọi $\alpha $ là góc giũua mặt phẳng $(SBD)$ và mặt đáy.

Ta có $\cos \alpha = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}$. Suy ra

((S B D), (A B C D)) \approx 50^{°} 14^{'}

c) Gọi $\beta $ là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Ta có $\sin \beta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}$. Suy ra

(S C, (S B D)) \approx 18^{°} 4^{'}

Câu 3