Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục \(d\) của mũi khoan và trục \({d^\prime }\) của giá đỡ có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 5 + 5{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \(A(10;3;0)\) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2; - 2;1)\) vởi tốc độ là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét) (Hình 35).

a) Viết phương trình đường cáp.

b) Giả sử sau \(t(\;{\rm{s}})\) kể từ lúc xuất phát \((t \ge 0)\), cabin đến điểm \(M\). Tìm tọa độ của điểm \(M\).

c) Cabin dừng ở điểm \(B\) có hoành độ \({x_B} = 550\). Tìm độ dài quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm \(O\) (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là \(O(0;0;0),A(3; - 4;2)\), \(B( - 5; - 2;1)\), đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.

Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm \((0;0;5)\) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng.

a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng.

b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Kim tự tháp Kheops ở Ai Câpp có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m , các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và (SBC).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí \(A(3,5; - 2;0,4)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \(B(3,5;5,5;0)\) trên đường băng EG (Hình 37 ).

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz , hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:

${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{3}\text{ và }{\Delta }_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}\text{. }$

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Trên mặt đất phả̉ng, người ta dựng một cây cột thẩng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O  trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉhh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng 560⁰E  (hướng tạo với hướng nam góc 60⁰  và tạo với hướng đông góc 30⁰ ) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gó́c toạ độ là O , tia Ox chi hướng nam, tia Oy chi hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trinh đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

(H.vẽ) Xét tình huống sau:

Trong không gian Oxyz , mắt một người quan sát ở điếm \({\rm{M}}(2\); 3; -4) và vật cần quan sát đặt tại điếm \({\rm{N}}( - 1;0;8)\). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm \({\rm{O}}(0;0;0)\), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phắng Oxy .

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN

b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng (Oxy) .

c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\) hay không?