Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục \(d\) của mũi khoan và trục \({d^\prime }\) của giá đỡ có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 5 + 5{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \(A(10;3;0)\) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2; - 2;1)\) vởi tốc độ là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét) (Hình 35).

a) Viết phương trình đường cáp.

b) Giả sử sau \(t(\;{\rm{s}})\) kể từ lúc xuất phát \((t \ge 0)\), cabin đến điểm \(M\). Tìm tọa độ của điểm \(M\).

c) Cabin dừng ở điểm \(B\) có hoành độ \({x_B} = 550\). Tìm độ dài quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm \(O\) (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là \(O(0;0;0),A(3; - 4;2)\), \(B( - 5; - 2;1)\), đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.

Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm \((0;0;5)\) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng.

a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng.

b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí \(A(3,5; - 2;0,4)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \(B(3,5;5,5;0)\) trên đường băng EG (Hình 37 ).

Trên mặt đất phả̉ng, người ta dựng một cây cột thẩng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O  trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉhh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng 560⁰E  (hướng tạo với hướng nam góc 60⁰  và tạo với hướng đông góc 30⁰ ) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gó́c toạ độ là O , tia Ox chi hướng nam, tia Oy chi hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trinh đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với toạ độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là \(M(3;3;1,5),N(3;4;1,5)\). Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục \(d\) của nòng súng và cọc đỡ bia \({d^\prime }\) có phương trình lần lượt là:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 20}\\{z = 9}\end{array}} \right.\) và \({d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 1 + 3{t^\prime }.}\end{array}} \right.\)

Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \({d^\prime }\), chúng có vuông góc với nhau không?

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz , hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:

${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{3}\text{ và }{\Delta }_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}\text{. }$

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?