Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \((P):2x + 2z + 1 = 0\) và \(\left( {{P^\prime }} \right):x + z + 7 = 0\).
a) Tính góc giữa \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\).
b) Tính góc hợp bời \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\) với mặt đất \((Q)\) có phương trình \(z = 0\).
Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \((P):2x + 2z + 1 = 0\) và \(\left( {{P^\prime }} \right):x + z + 7 = 0\).
a) Tính góc giữa \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\).
b) Tính góc hợp bời \((P)\) và \(\left( {{P^\prime }} \right)\) với mặt đất \((Q)\) có phương trình \(z = 0\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Mặt phảng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;0;2)\)
Mặt phắng \(\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;0;1)\)
\(\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|2.1 + 0.0 + 2.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{4} = 1\). Suy ra ((P), (P’)) .
b) Mặt phẳng \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = (0;0;1)\)
\(\cos ((P),(Q)) = \frac{{|2.0 + 0.0 + 2.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{. }}\)Suy ra ((P), (Q)) .
Suy ra .
Mặt phắng ( \({{\rm{O}}^\prime }{\rm{BC}}\) ) có phương trình đoạn chắn là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 6{\rm{y}} + 3{\rm{z}} = 6\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2;6;3)\)
\(\cos \left( {\left( {{O^\prime }BC} \right),(OBC)} \right) = \frac{{|3|}}{{\sqrt 1 \cdot \sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{7}\). Suy ra .
c) Đường thằng \({B^\prime }C\) nhận \(\overrightarrow {{B^\prime }C} = ( - 3;1; - 2)\) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng ( O ' BC ) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2;6;3)\)
\(\sin \left( {{B^\prime }C,\left( {{O^\prime }BC} \right)} \right) = \frac{{|( - 3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{{( - 3)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }}\). Suy ra .
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Phương trình chính tắc của đường cáp là: \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).
b) Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) nên độ dài AM bằng \(4,5t(\;{\rm{m}})\). Vì vậy \(|\overrightarrow {AM} | = 4,5t(t \ge 0)\).
Do hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\vec u\) là cùng phương và cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM} = k\vec u\) với \(k\) là số thực dương nào đó. Suy ra: \(|\overrightarrow {AM} | = k|\vec u| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + 1} = 3k\). Do đó \(3k = 4,5t\). Suy ra \(k = \frac{{3t}}{2}\). Vì thế, ta có: \(\overrightarrow {AM} = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
Gọi toạ độ của điểm \(M\) là \(\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\).
Do \(\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + {x_A}}\\{{y_M} = - 3t + {y_A}}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + 10}\\{{y_M} = - 3t + 3}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy điểm \(M\) có toạ độ là \(\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
c) Do \({x_B} = 550\) nên \(3t + 10 = 550\), tức là \(t = 180\) (s). Do đó, ta có điểm \(B(550; - 537;270)\).
Vậy \(AB = \sqrt {{{(550 - 10)}^2} + {{( - 537 - 3)}^2} + {{(270 - 0)}^2}} = \sqrt {656100} = 810(\;{\rm{m}})\).
d) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\vec u = (2; - 2;1)\) và mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Do điểm \(C(0;0;5)\) nên \(AC = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(2 - 5)}^2}} = \sqrt {34} (\;{\rm{m}})\);
\(BC = \sqrt {{{( - 5 - 0)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 (\;{\rm{m}}){\rm{. }}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {OA} = (3; - 4;2),\overrightarrow {OB} = ( - 5; - 2;1)\) nên \([\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 13; - 26){\rm{. }}\)
Vì thế, vectơ \(\vec n = (0;1;2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAB)\).
Mặt khác, do \(\overrightarrow {CA} = (3; - 4; - 3),\overrightarrow {BC} = (5;2;4)\) nên ta có:
- \(\sin (CA,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {CA} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {CA} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {CA} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + ( - 4) \cdot 1 + ( - 3) \cdot 2|}}{{\sqrt {34} \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{10}}{{\sqrt {170} }}\),
suy ra . Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là khoảng .
suy ra . Vậy góc tạo bởi dây neo BC và mặt phẳng sườn núi là khoảng .
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập