Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 3y - 8z + 100 = 0\).

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 5y - 2z - \frac{3}{4} = 0\).

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy + 6y - 9z + 10 = 0\).

a) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 1,b =  - \frac{3}{2},c = 4,d = 100\). Trong trường hợp này, \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \frac{9}{4} + 16 - 100 < 0\). Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

b) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 2,b =  - \frac{5}{2},c = 1,d =  - \frac{3}{4}\). Trong trường hợp này, \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + \frac{{25}}{4} + 1 + \frac{3}{4} = 12 > 0\). Do đó phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - \frac{5}{2};1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3 \).

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện \( - 2xy\) trong phương trình.