Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5z + 30 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z = 0\)

c) \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 2x + 6y - 9z - 10 = 0\);

d) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5 = 0\).

a) Phương trình có \({\rm{a}} = 1;{\rm{b}} = 0;c = \frac{5}{2};{\rm{d}} = 30\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 0 + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 30 =  - \frac{{91}}{4} < 0\). Nên phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.

b) Ta có \(a = 2;b =  - 1;c = 1;d = 0\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {( - 1)^2} + {1^2} - 0 = 6 > 0\).

Do đó đây là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu có tâm \({\rm{I}}(2; - 1;1)\) và \(R = \sqrt 6 \).

c) Đây không phải là phương trình mặt cầu. Vi phương trình mặt cầu phải có dạng:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} +  \ldots \)

d) Đây không phải là mặt cầu vì \({x^2} + {y^2} + {z^2} =  - 5 < 0\) (Vô lý).