Cho bốn điểm \(A(0;1;3),B( - 1;0;5),C(2;0;2)\) và \(D(1;1; - 2)\).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và một vectơ vuông góc vởi cả hai vectơ đó.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của các đường thẳng AB và AC.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((ABC)\).

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 1;2),\overrightarrow {AC}  = (2; - 1; - 1)\).

Xét vectơ \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = (3;3;3)\).

Khi đó, \(\vec n = (3;3;3)\) là một vectơ vuông góc với cá hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).

b) + Đường thẳng AB đi qua điếm A và nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 1;2)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thắng AB là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) (t là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thắng AB là \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\).

+ Đường thẳng AC đi qua điếm A và nhận vectơ \(\overrightarrow {AC}  = (2; - 1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thắng AC là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 1 - t{\rm{ (t l\`a  tham s?)}}{\rm{. }}}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\)

Phương trình chính tắc của đường thắng AC là \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).

c) Mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) đi qua điếm A và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = \frac{1}{3}\vec n = (1;1;1)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tống quát của mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) là:

\(1({\rm{x}} - 0) + 1({\rm{y}} - 1) + 1({\rm{z}} - 3) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0.\)

d) Thay tọa độ điếm \({\rm{D}}(1;1; - 2)\) vào phương trình mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) ta được:

\(1 + 1 + ( - 2) - 4 =  - 4 \ne 0.{\rm{ }}\)

Suy ra điếm D không thuộc mặt phắng (ABC).

Vậy bốn điếm \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}},{\rm{D}}\) không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điếm D đến mặt phắng \(({\rm{ABC}})\) là:

\(d(D,(ABC)) = \frac{{|1 + 1 + ( - 2) - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)