Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\);

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\).

a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - \frac{5}{2};b = \frac{7}{2};c =  - \frac{1}{2};d =  - 1\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{{79}}{4} > 0\).

Do đó đây là phương trình mặt cằu với tâm \(I\left( { - \frac{5}{2};\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right),R = \frac{{\sqrt {79} }}{2}\).

b) Phương trình \({{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} + 4{\rm{x}} + 6{\rm{y}} - 2{\rm{z}} + 100 = 0\) có dạng \({{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} - 2{\rm{ax}} - 2{\rm{by}} - 2{\rm{cz}} + {\rm{d}} = 0\) với a \( =  - 2;b =  - 3;c = 1\) và \(d = 100\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 9 + 1 - 100 =  - 86 < 0\).

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2};c = \frac{1}{2};d = \frac{1}{2}\).

Có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0\).

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và \(R = \frac{1}{2}\).