Cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({x^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 5)^2} = 49\).

a) Xác định toạ độ tâm \(I\) và tính bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\).

b) Điểm \(A(0;3; - 5)\) có thuộc mặt cầu \((S)\) hay không?

c) Điểm \(B(1; - 4; - 1)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \((S)\) ?

d) Điểm \(C(7;3; - 5)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \((S)\) ?

e) Lâp phương trình tham số của đường thẳng IC.

g) Xác định tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng IC và mặt cầu.

a) Tâm \(I(0; - 4; - 5)\), bán kính \(R = 7\).

b) \(LA = 7 = R\) nên \(A\) thuộc mặt cầu.

c) \(IB = \sqrt {17}  < R\) nên \(B\) nằm trong mặt cầu.

d) \(IC = \sqrt {98}  > R\) nên \(C\) nằm ngoài mặt cầu.

e) Ta có: \(\overrightarrow {IC}  = (7;7;0)\), chọn \(\vec u = \frac{1}{7}\overrightarrow {IC}  = (1;1;0)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng IC. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng IC là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y =  - 4 + t}\\{z =  - 5.}\end{array}} \right.\)

g ) Toạ độ giao điểm của đường thẳng IC và mặt cầu \((S)\) tương ứng với tham số \(t\) thoả mãn:

\({t^2} + {( - 4 + t + 4)^2} + {( - 5 + 5)^2} = 49 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{49}}{2} \Leftrightarrow t = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}\) hoặc \(t = \frac{{ - 7\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(M\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 4 + \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 5} \right),N\left( {\frac{{ - 7\sqrt 2 }}{2}; - 4 - \frac{{7\sqrt 2 }}{2}; - 5} \right)\).