Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu? Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (nếu có).

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\).

\({\rm{ a) Ta c\'o : }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0\)

\(\quad  \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 \cdot 2 \cdot x + 2 \cdot 5 \cdot y - 2 \cdot 1 \cdot z + 14 = 0\)

\(\quad  \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y + 5)^2} + {(z - 1)^2} = 16.\)

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I(2; - 5\); 1) bán kính \(R = \sqrt {16}  = 4\).

b) Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2 \cdot 1 \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot y - 2 \cdot 3 \cdot z + 20 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} =  - 6 < 0.\)

Vậy phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.