Chứng minh rằng phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0\) là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu đó.

Cách 1:

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2 \cdot 3 \cdot x + 9 + {y^2} - 2 \cdot 1 \cdot y + 1 + {z^2} - 2 \cdot 2 \cdot z + 4 = 9 + 1 + 4 + 11\)

\( \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 25.\)

Vậy phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm \(I(3;1;2)\) và bán kính \({\rm{R}} = \sqrt {25}  = 5\).

Cách 2:

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot 1 \cdot y - 2 \cdot 2 \cdot z - 11 = 0\)

Khi đó \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {3^2} + {1^2} + {2^2} - ( - 11) = 25 > 0\).

Vậy phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm I(3;1; 2) và bán kính \(R = \sqrt {25}  = 5\).