Lập phương trình mặt cầu \((S)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \((S)\) có tâm \(I(3; - 7;1)\) và bán kính \(R = 2\);

b) \((S)\) có tâm \(I( - 1;4; - 5)\) và đi qua điểm \(M(3;1;2)\);

c) \((S)\) có đường kính là đoạn thẳng CD với \(C(1; - 3; - 1)\) và \(D( - 3;1;2)\).

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \({\rm{I}}(3; - 7\); 1) và bán kính \({\rm{R}} = 2\) là:

\({(x - 3)^2} + {(y + 7)^2} + {(z - 1)^2} = 4.{\rm{ }}\)

b) Ta có \({\rm{R}} = {\rm{IM}} = \sqrt {{{(3 - ( - 1))}^2} + {{(1 - 4)}^2} + {{(2 - ( - 5))}^2}}  = \sqrt {74} \).

Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I( - 1;4; - 5)\) và đi qua điểm \(M(3;1;2)\) là:

\({(x + 1)^2} + {(y - 4)^2} + {(z + 5)^2} = 74.\)

c) Tâm của mặt cầu \(({\rm{S}})\) đường kính CD là trung điểm I của đoạn thẳng CD .

Ta có \({x_I} = \frac{{1 + ( - 3)}}{2} =  - 1;{y_I} = \frac{{( - 3) + 1}}{2} =  - 1;{z_I} = \frac{{( - 1) + 2}}{2} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(I\left( { - 1; - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

Bán kính \({\rm{R}} = {\rm{IC}} = \sqrt {{{(1 - ( - 1))}^2} + {{( - 3 - ( - 1))}^2} + {{\left( { - 1 - \frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\).

Phương trình mặt cầu \(({\rm{S}})\) có đường kính là đoạn thẳng CD là: \({(x + 1)^2} + {(y + 1)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{41}}{4}.\)