Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y - 6z + 33 = 0\).

a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - 4;b = 3;c =  - 1;d =  - 10\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 16 + 9 + 1 + 10 = 36 > 0\).

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I( - 4;3; - 1)\), bán kính \(R = 6\).

b) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y - 6z + 33 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a =  - \frac{1}{2};b =  - \frac{1}{2};c = 3;d = 33\).

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 9 - 33 =  - \frac{{47}}{2} < 0\).

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.