Cho hai điểm $A(1;0;0)$ và $B(5;0;0)$. Chứng minh rằng nếu điểm $M(x;y;z)$ thoả mãn $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0$ thì $M$ thuộc một mặt cầu $(S)$. Tìm tâm và bán kính của $(S)$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 84 bài tập Xác định tâm, bán kính của mặt cầu và lập phương trình mặt cầu (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $\overrightarrow {MA} = (x - 1;y;z),\overrightarrow {MB} = (x - 5;y;z)$.

${\rm{Có }}\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 5) + {y^2} + {z^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 9 + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {({\rm{x}} - 3)^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} = 4$

Do đó M luôn thuộc mặt cầu tâm ${\rm{I}}(3;0;0)$ và $R = 2$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: $\left( {{S^\prime }} \right):{(x + 2)^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 13$;

Xem đáp án

Lời giải

Mặt cầu $\left( {{S^\prime }} \right)$ có tâm $J( - 2;0;5)$ và bán kính ${R^\prime } = \sqrt {13} $.

Câu 2

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ : Có đường kính AB với $A(1;3;7)$ và $B(3;5;1)$;

Xem đáp án

Lời giải

Mặt cầu $(S)$ có đường kính AB nên có tâm $J(2;4;4)$ là trung điểm của $A B$ và bán kính $R = JA = \sqrt {11} $.

Vậy $(S)$ có phương trình: ${(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} + {(z - 4)^2} = 11$.

Câu 3