Cho bốn điềm \(A(1;0;0),B(0;1;0)\), \(C(0;0;1),D( - 2;1; - 1)\).

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

a) Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phắng \(({\rm{ABC}})\) là:

\(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow {\rm{x}} + {\rm{y}} + {\rm{z}} - 1 = 0\)

Thay tọa độ điếm D vào phương trình mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) ta được:

\( - 2 + 1 - 1 - 1 =  - 3 \ne 0{\rm{ nên }}D \notin (ABC){\rm{. }}\)

Do đó \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}},{\rm{D}}\) không đồng phẳng.

Suy ra A, B, C, D là bốn đính của một hình chóp.

b) Đường thắng AB nhận \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1;0)\) làm vectơ chỉ phương.

Đường thắng CD nhận \(\overrightarrow {CD}  = ( - 2;1; - 2)\) làm vectơ chỉ phương.

\(\cos (AB,CD) = \frac{{|( - 1) \cdot ( - 2) + 1 \cdot 1 + 0 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{. }}\)

Suy ra $(AB,CD)={45}^{°}$.

c) Có \(\overrightarrow {BC}  = (0; - 1;1),\overrightarrow {CD}  = ( - 2;1; - 2),[\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} ] = (1; - 2; - 2)\).

Mặt phắng \(({\rm{BCD}})\) đi qua \({\rm{B}}(0;1;0)\) và nhận \(\vec n = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CD} ] = (1; - 2; - 2)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x - 2(y - 1) - 2z = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 2z + 2 = 0\).

Đường cao của hình chóp \({\rm{A}}.{\rm{BCD}}\) chính là khoáng cách từ A đến mặt phắng ( BCD ).

Ta có \(d(A,(BCD)) = \frac{{|1 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1\)