Cho bốn điểm \(A( - 2;6;3),B(1;0;6)\), \(C(0;2; - 1),D(1;4;0)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng \((BCD)\). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.

c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AB và song song với CD.

a) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = ( - 1;2; - 7),\overrightarrow {BD}  = (0;4; - 6),[\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ] = (16; - 6; - 4)\)

Mặt phắng \((BCD)\) đi qua \({\rm{B}}(1;0;6)\) và nhận \(\vec n = \frac{1}{2}[\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ] = (8; - 3; - 2)\) có phương trình là \(8({\rm{x}} - 1) - 3{\rm{y}} - \) \(2(z - 6) = 0 \Leftrightarrow 8x - 3y - 2z + 4 = 0\).

Thay tọa độ điếm A vào phương trình mặt phẳng \(({\rm{BCD}})\) ta được: \({\rm{ 8}}{\rm{. }}( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4 =  - 36 \ne 0.{\rm{ }}\)

Do đó \({\rm{A}} \notin ({\rm{BCD}}\) ). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Ta có \(AH = d(A,(BCD)) = \frac{{|8.( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4|}}{{\sqrt {{8^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {77} }}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (3; - 6;3)\) và \(\overrightarrow {CD}  = (1;2;1),[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = ( - 12;0;12)\).

Mặt phắng \(({\rm{a}})\) đi qua \({\rm{A}}( - 2;6;3)\) và nhận \(\vec n =  - \frac{1}{{12}}[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = (1;0; - 1)\) có phương trình là \(({\rm{x}} + 2) - ({\rm{z}} - 3) = \) \(0 \Leftrightarrow x - z + 5 = 0\)