Cho các hình: Hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thang vuông, hình thang cân, hình thoi. Trong các hình nói trên có bao nhiêu hình là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn?

Chọn A

Tứ giác \(MNPQ\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MQP\,} = \,180^\circ - \,\widehat {MNP} = \,120^\circ \).

(Định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Chọn B

Vẽ đường kính \(CE\) của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có \(\widehat {EAC} = 90^\circ \), \(\widehat {EDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có \(AE \bot AC\). Mặt khác theo giả thiết \(AC \bot BD\).

Kéo theo \(AE{\rm{ // }}BD\). Vậy \(AEBD\)là hình thang.

Do hình thang \[AEBD\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(AEDB\) là hình thang cân.

Kéo theo \(AB = DE\) (các cạnh bên của hình thang).

Từ đó ta có \[A{B^2} + C{D^2} = D{E^2} + D{C^2} = E{C^2} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\] (do \(\Delta EDC\) vuông tại \(D\)).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(\left( {A{B^2},C{D^2}} \right)\) ta có \(A{B^2} + C{D^2} \ge 2AB.CD\)

\( \Rightarrow 2\left( {A{B^2} + C{D^2}} \right) \ge A{B^2} + C{D^2} + 2AB.CD = {\left( {AB + CD} \right)^2}\).

Kéo theo \({\left( {AB + CD} \right)^2} \le 2{\left( {4a} \right)^2} = 8{a^2}\)\( \Rightarrow AB + CD \le 2\sqrt 2 a\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi\[AB = CD\].

Xét \(\Delta ABI\), \(\Delta DCI\) có \(AB = CD\), \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn ),

\(\widehat {BAC} = \widehat {CDB}\) (góc nội tiếp cùng chắn ).

Do đó \(\Delta ABI = \)\(\Delta DCI\) (g.c.g).

Kéo theo \(AI = ID,IB = IC\).

Suy ra \(AC = AI + IC = ID + IB = BD\).