Tại \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) và \(a + b + c \ne 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(N = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}.\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33.

Ta có \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {{a^3} + {b^3}} \right) + {c^3} - 3abc\)

\( = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc\)

\( = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} + {c^3}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\)

\( = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - c\left( {a + b} \right) + {c^2}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\)

\( = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - c\left( {a + b} \right) + {c^2} - 3ab} \right]\)

\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac} \right)\)

Vì \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\) và \(a + b + c \ne 0\) nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac = 0.\)

Lại có \(2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac} \right)\)

\( = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)\)

\( = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}.\)

Như vậy, từ \({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac = 0\) suy ra \(a = b = c.\)

Do đó, \[N = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{9{a^2}}} = \frac{1}{3} \approx 0,33.\]