Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' và AB=a, AD=b, AA'=c. Gọi M là trung điểm của B'C' và G là trọng tâm tam giác DC'D'.

a) Có 3 vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp chữ nhật bằng AB'.

b) AM=AA'+AB+$\frac{1}{2}$AB

c)  AG=$\frac{1}{3}AB+\frac{2}{3}AA\text{'} +AD$ và .

d) AM.AG= $\frac{1}{6}a$² + b² + $\frac{2}{3}c$²

Người ta vận chuyển một thùng hàng có dạng hình hộp chữ nhật bằng cách móc 4 dây cáp vào 4 góc trên của thùng hàng và đầu còn lại móc vào cần cẩu như hình vẽ. Biết rằng các đoạn dây cáp có độ dài bằng nhau và góc tạo bởi hai đoạn dây cáp đối diện nhau là 60°. Chiếc cần cẩu kéo thùng hàng lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng chịu được tối đa lực căng là 5 000 N. Hỏi cần cẩu nâng được thùng hàng có khối lượng (đơn vị: kg) tối đa là bao nhiêu? Lấy g = 10 m/s².

Một thùng rác thông minh cảm ứng tự động đóng mở dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là 2000m³ Thùng rác được làm bằng nhựa ABS có độ bền cao, chịu nhiệt, cách điện, chống nước. Để lượng vật liệu dùng để sản xuất thùng rác là nhỏ nhất thì chiều cao của chiếc hộp bằng bao nhiêu?

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau:

Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là

Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong (tháng) được tính theo công thức , trong đó . Số lượng sản phẩm được bán của công ty đó trong (tháng) khi đủ lớn gần bằng bao nhiêu?

Hỏi hàm số có đồ thị .

a) Đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng

.b) Đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị .

c) Hàm số nghịch biến trên khoảng và .

d) Đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là .

Cho hai vị trí A,B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng cách từ A và B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Xác định độ dài đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi.

Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tính giá trị của .