Trong không gian, cho hình lập phương \(ABCD\,A'B\,'C'D'\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} \)bằng

Vì BC2 = SB2 + SC2 nên DSBC vuông cân tại S.

Mặt khác SA = AC = SC = 2 Þ DSAC là tam giác đều.

Ta có \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {SC} .\left( {\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SA} } \right) = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA} \)\( = 0 - \left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\cos \widehat {ASC} =  - 2.2.\cos 60^\circ  = \frac{{ - {2^2}}}{2} =  - 2\).

Vậy \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  =  - 2\).

Trả lời: −2.

a) Ta có \(\overrightarrow {AA'} \) cùng phương với \(\overrightarrow {CM} \) và \(AA' = \frac{3}{2}CM\), suy ra \(\overrightarrow {AA'}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM} \).

b) Do \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'C'} \), suy ra \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {CAM}\),

suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \cos \widehat {CAM} = \frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} \).

d) Ta có \(\overrightarrow {B'D}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {AD}  - \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} } \right) =  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} \).

Do đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right).\left( { - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} } \right)\)

\( =  - A{B^2} + A{D^2} - \frac{2}{3}A{A'^2} =  - 1 + 4 - 6 =  - 3\).