Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng \(m = 3\,{\rm{kg}}\)được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA\,,\,SB\,,\,SC\,,\,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 90^\circ \). Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\). Lấy \(g = 10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\), khi đó giá trị của \[a\] bằng bao nhiêu?

Trong không gian, cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 2, \(BC = 2\sqrt 2 \). Tính \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} \).

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Tứ giác ABCD là hình vuông.

b) Tam giác SBD cân tại S.

c) \(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 45^\circ \).

d) \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {BD}  =  - {a^2}\).

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 1, AD = 2, AA' = 3. Gọi M là một điểm trên đoạn CC' sao cho CM = 2MC'.

a) \(\overrightarrow {AA'}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM} \).

b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \frac{2}{3}\).

c) \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \).

d) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D}  = 0\).

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm MN.

a) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \).

b) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MG} \).

c) \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} } \right)\).

d)\(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \).