Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng \(m = 3\,{\rm{kg}}\)được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA\,,\,SB\,,\,SC\,,\,SD\) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 90^\circ \). Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\). Lấy \(g = 10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\), khi đó giá trị của \[a\] bằng bao nhiêu?

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Ta có \[\overrightarrow {{\rm{O}}A}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {O\,S}  + \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {OS}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {OS}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {OS}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  =  - 4\overrightarrow {OS}  = 4\overrightarrow {SO}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO\].

Trọng lượng của vật nặng là \(P = mg = 3.10 = 30\,\left( N \right)\). Suy ra \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 30\,\left( N \right) \Rightarrow SO = \frac{{15}}{2}\).

Lại có tam giác \(ASC\) vuông cân tại \(S\) nên

\(SO = SA.\sin \widehat {SAC} \Rightarrow SA = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SAC}}} = \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = 30\).

Vậy \(a = 30\).

Trả lời: 30.