Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {2; - 1;0} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 1; - 3;2} \right),\overrightarrow c  = \left( { - 2; - 4; - 3} \right)\), tọa độ của \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \) là

Gọi M(a; 0; 0) (a > 0) là điểm thuộc tia Ox.

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 1; - 2;0} \right),\overrightarrow {BM}  = \left( {a + 1;0; - 3} \right)\).

Để tam giác ABM vuông tại M thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a =  - 1\end{array} \right.\).

Vì a > 0 nên M(1; 0; 0).

\(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} \). Gọi M(x; y; z)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3;0} \right)\), \(\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - x;1 - y;3 - z} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x =  - 1\\1 - y = 3\\3 - z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 2\\z = 3\end{array} \right.\) Þ M(3; −2; 3).