PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt S(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {1;\sqrt 3 ;0} \right),C\left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\). Biết rằng trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn 30 N và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau như hình. Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} \).

Ta có \(\overrightarrow {SA}  = \left( { - 2;0; - 4} \right),\overrightarrow {SB}  = \left( {1;\sqrt 3 ; - 4} \right),\overrightarrow {SC}  = \left( {1; - \sqrt 3 ; - 4} \right)\) \( \Rightarrow SA = SB = SC = \sqrt {20} \).

Lại có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - \sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 2\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow AB = AC = BC = \sqrt {12} \).

Do đó hình chóp S.ABC đều có đường cao là SO = 4 với O(0; 0; 0) là trọng tâm tam giác ABC.

Mặt khác, \(\overrightarrow {{F_1}}  = k\overrightarrow {SA}  = \left( { - 2k;0; - 4k} \right),\overrightarrow {{F_2}}  = k\overrightarrow {SB}  = \left( {k;\sqrt 3 k; - 4k} \right),\overrightarrow {{F_3}}  = k\overrightarrow {SC}  = \left( {k; - \sqrt 3 k; - 4k} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \left( {0;0; - 12k} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P  = \left( {0;0; - 30} \right)\) nên \( - 12k =  - 30 \Leftrightarrow k = \frac{5}{2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}}  = \left( { - 5;0; - 10} \right),\overrightarrow {{F_2}}  = \left( {\frac{5}{2};\frac{{5\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}}  = \frac{{175}}{2} = 87,5\).

Trả lời: 87,5.